当面の目標としていた、楕円の接線の入射角と反射角に関する計算問題の作図です。
曲線
y － f (a) = f ´(a) (x － a)
と、記述されます。このとき f ´(a) ≠ 0 であるなら、点 A を通る接線に垂直な直線の方程式は| y － f (a) = － | 1 | (x － a) |
| f ´(a) |
⛞ 楕円の接線と法線に関する定理
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 |
| a 2 | b 2 |
このとき、m は ∠FPF´ を二等分する。
▣ 直線 m は、楕円上の点 P ( x1, y1 ) (y1 ≠ 0) における法線と一致します。
▣ したがってこの定理は、焦点を F, F´ とする楕円の点 P における法線は、
◎ かくして焦点 F から楕円上の点 P に向けて放たれた光は、
「もうひとつの焦点 F´ に向けて反射する」と理解できます。
「もうひとつの焦点 F´ に向けて反射する」と理解できます。
【 証明 ： ここでは a > b > 0 となる標準的な楕円の場合について考えます 】
（双曲線の接線で復習した〈内角の二等分線と辺の比の定理〉を今回の証明にも用います）
◈ 前提として、x 軸と法線との交点を Q とすれば、
FQ : F´Q = PF : PF´
が成り立つとき、法線は ∠FPF´ を二等分していることになるわけです。◈ まず、標準的な楕円 ( b = √ a 2 － c 2 ) で焦点の座標は、
c = √ a 2 － b 2
となって、F ( c , 0 ) , F´ (－c , 0 ) 。接線 l の傾きは、［－b 2 x1 ∕ a 2 y1 ］。
直線 m の傾きは、［ a 2 y1 ∕ b 2 x1 ］。
● したがって、m の方程式は、
| y － y1 = | a 2 y1 | ( x － x1 ) |
| b 2 x1 |
| － | b 2 x1 | y1 = ( x － x1 ) |
| a 2 y1 |
| x = x1 － | b 2 x1 | = | a 2 x1 － b 2 x1 |
| a 2 | a 2 |
| = | ( a 2 － b 2 ) x1 | = | c 2 x1 |
| a 2 | a 2 |
楕円の離心率 e の値を用います。
▣ e = c ∕ a
● 以上より、点 Q の x 座標は、∴ x = e 2 x1
また、焦点の x 座標は、 ▣ c = a e
であるから、FQ = | a e － e 2 x1 |
F´Q = | (－a e ) － e 2 x1 |
∴ FQ = e | a － e x1 |
∴ F´Q = e | a ＋ e x1 |
◈ 次に、PF, PF´ の長さは、▣ c 2 = a 2 － b 2
▣ y12 = b 2 (1 － x12 ∕ a 2 ) = b 2 － ( b 2 ∕ a 2 ) x12
より、PF 2 = ( x1 － c ) 2 ＋ y12 = x12 － 2 c x1 ＋ c 2 ＋ y12
= x12 － 2 c x1 ＋ ( a 2 － b 2 ) ＋ b 2 － ( b 2 ∕ a 2 ) x12
= x12 － 2 c x1 ＋ a 2 － ( b 2 ∕ a 2 ) x12
| = a 2 － 2 c x1 ＋ | a 2 － b 2 | x12 |
| a 2 |
| = a 2 － 2 c x1 ＋ | c 2 | x12 |
| a 2 |
= a 2 － 2 a e x1 ＋ ( a 2 e 2 ∕ a 2 ) x12
= a 2 － 2 a e x1 ＋ e 2 x12
= ( a － e x1 ) 2
PF´ 2 = ( x1 ＋ c ) 2 ＋ y12 = a 2 ＋ 2 a e x1 ＋ e 2 x12
= ( a ＋ e x1 ) 2
∴ PF = | a － e x1 |
∴ PF´ = | a ＋ e x1 |
● したがって、FQ : F´Q = e | a － e x1 | : e | a ＋ e x1 |
= | a － e x1 | : | a ＋ e x1 |
であるから、∴ FQ : F´Q = PF : PF´
⛞ 媒介変数 θ を使った楕円上の点 P (x, y) の値と接線と法線
（線分 FF´ と法線との交点を Q とし、点 Q の x 軸上もしくは y 軸上の値を q として算出します。）◎ a > b だと横長の楕円に、b > a だと縦長の楕円になります。
| θ = ° | a = | b = | c = |
| x = | y = | q = |
今回の JavaScript によるプログラムも、このページ内に同梱しています。
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