円と楕円の接線の方程式

　昨年夏のこと、「JavaScript :《楕円の方程式》に向けて」（2019年8月22日木曜日）と題しています。
　目指していたのは実は本日の 《楕円の接線の方程式》でした。

---

 ⛞　中心が原点にある円の方程式

　 　x 2 ＋ y 2　=　r 2

  ▶　中心点 O ( 0, 0 ) と

　 　 円周上の点 P ( x₀, y₀ ) を通る直線 OP の傾き m

y0 － 0	=	y0	( ただし、 x0　≠　0 )
x0 － 0		x0

  ▶　点 P を通る接線 l の傾き n

　 　m × n　=　－ 1

∴　 －	x0	( ただし、 y0　≠　0 )
	y0

  ▶　接線 l の方程式

l :　y － y0　= －	x0	( x － x0 )
	y0

　►　両辺に y₀ を掛けて、

　 　l :　y₀ y － y₀ 2　=　－ x₀ ( x － x₀ )

　 　l :　x₀ x ＋ y₀ y　=　x₀ 2 ＋ y₀ 2

　▸　点 P は円周上にあるので、点 P で円の方程式が成立します。

　 　x₀ 2 ＋ y₀ 2　=　r 2

∴　 l :　x₀ x ＋ y₀ y　=　r 2

 ⛞　一般的な円の方程式

　 　( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2　=　r 2

  ▶　接線 l の方程式（円の接線の公式）

 ( x₀ － a ) ( x － a ) ＋ ( y₀ － b ) ( y － b )　=　r 2

---

　　θ　=　 °　　　b　=　

 ⛞　楕円の方程式の標準形

2 定点 F ( c , 0 ) ,　F´ (－ c , 0 ) を焦点として、

焦点からの距離の和が 2 a のときに、

a > c > 0 かつ a > b > 0 である、楕円の方程式

x 2	＋	y 2	=　1　　( b　=　√ a 2 － c 2  )
a 2		b 2

 ⛞　楕円の接線の方程式

　►　楕円の方程式の両辺を x で微分して求めます。

2 x	＋	2 y	∙	dy	=　0
a 2		b 2		dx

∴	dy	=  －	2 x	∙	b 2
	dx		a 2		2 y

　このことから、y ≠ 0 のとき、次のことが成り立ちます。

dy	=  －	b 2 x
dx		a 2 y

 ✐　したがって y₁ ≠ 0 のとき、

楕円上の点 Q ( x₁, y₁ ) における接線の傾きは、

－	b 2 x1
	a 2 y1

　と、なるので、接線の方程式は次の計算式から求めます。

y － y1　=　－	b 2 x1	( x － x1 )
	a 2 y1

∴　 a 2 y₁ ( y － y₁ )　=　－ b 2 x₁ ( x － x₁ )

●　この両辺を a 2 b 2 で割って、

y1 y － y1 2	=　－	x1 x － x1 2
b 2		a 2

∴	x1 x	＋	y1 y	=	x1 2	＋	y1 2
	a 2		b 2		a 2		b 2

●　点 Q ( x₁, y₁ ) で楕円の方程式が成り立つので、

x1 2	＋	y1 2	=   1
a 2		b 2

▣　以上のことから、楕円の接線は、次の方程式で表せます。

x1 x	＋	y1 y	=   1
a 2		b 2

---

　今回の JavaScript によるプログラムも、このページ内に同梱してあります。