ガウス平面の座標・複素数の演算

  ✥　虚数単位  i

　数学では、

▣　 i 2　=　－ 1

∴　 i　=　√ －1 

という数をイメージして、この i を虚数単位といいます。

　さらに実数 a, b を用いて、

a ＋ b i

の形式で表現される数を複素数といい、特に、b ≠ 0 である場合には、虚数と呼ばれます。

　◎　a ＋ b i の複素数で、a = 0 の場合には純虚数と呼ばれ、b = 0 である場合に、実数となります。

a ＋ b i　を複素数という。
b ≠ 0　の場合、虚数という。
b i　だけの場合、純虚数。(a = 0)
a　のみで、実数となる。(b = 0)

---

　ここで、基本の計算式で使われる用語の確認をしておきましょう。
　加え算（くわえざん）である足し算を「加算（かさん）」といい、引き算を「減算（げんざん）・減法」といって、掛け算を「乗算（じょうざん）・乗法」、割り算「除算（じょざん）・除法」といいます。
　そして、「加算（加え算）・減算（減法）・乗算（乗法）・除算（除法）」をまとめて「四則（しそく）」といい、または「加減乗除（かげんじょうじょ）」と呼びます。
　四則は、英語で “the four (fundamental) rules of arithmetic” となります。“fundamental” は、〝基本の・基礎の・根源の・根本的な〟という意味の英語で、“arithmetic” は〝算数・算術〟です。

---

  ✥　ガウス平面

 　x 軸に実数を並べ、y 軸上に純虚数を並べた平面を、複素数平面（複素平面）といい、また、ガウス平面とも呼ばれます。

　⛞　複素数の和（差はマイナスの和）

【ガウス平面での足し算】
◈　実数 a, b, c, d 等と、虚数単位 i を組み合わせた計算式で、多くの場合に複素数は記号 z で表され、随時 w なども用いられます。

z　 =　a ＋ b i
w　=　c ＋ d i

●　ここで z と w を足した結果を z₁ とすれば、次の式となります。

z ＋ w　=　z₁　=　z ＋ c ＋ d i
( z₁　=　a ＋ c ＋ b i ＋ d i )

 ◈　複素数の和をガウス平面で表現すると、z₁ は z を実数（実軸）方向に c 、虚数（虚軸）方向に d の値だけ平行移動した値の座標を持つことになります。

a　=　　　　　b　=　

c　=　　　　　d　=　

　⛞　複素数の積・商 　

 　▣   純虚数の値　 = 　 i

（例）実数の 1 に同じ純虚数を繰り返し掛ける演算

◈　元の複素数の座標を z (1, 0) = 1 ＋ 0i とし、これに純虚数を演算した結果を、ガウス平面に描きます。
　その演算を 4 回繰り返すと、座標は 1 回転します。
　演算の 1 回ごとに、90 度の回転が加わるわけです。

 〔 ※ 商の計算値は “ ≒ ” で統一しました。〕

● 　－ i　=　1  ∕  i

　　（ ⇒　この計算の説明は演算式の下を参照のこと ）

　▣  演算 1 回目 ：
  z₁  =　1 × i　=　i

　▣  演算 2 回目 ：
  z₂  =　i × i　=　－ 1

　▣  演算 3 回目 ：
  z₃  =　－ 1 × i　=　－ i

　▣  演算 4 回目 ：
  z₄  =　－ i × i　=　1

 ●（説明文）  分数 [ 1  ∕  (2 i) ] は、分母と分子の両方に i を掛けると [ i  ∕  (2 i 2 )　=　－ i  ∕ 2 ] なので、

[ 1  ∕  (2 i) ]　=　[ － (1 ∕ 2) × i  ] と、なります。

---

　例によって、今回の JavaScript のスクリプトは、このページ内に同梱してあります。