✥ 双曲線 (hyperbola) の定義
⛞ 双曲線とは「 2 定点 F, F´ からの距離の差が一定である点 P の軌跡」をいう
⛞ ただし 2 定点 F, F´ からの距離の差は 0 より大きく FF´ よりも小さくなる
⛞ 2 定点 F, F´ を「焦点」という
⛞ 焦点 F, F´ を通る直線を「主軸」といい、主軸と双曲線との交点を「頂点」という
⛞ 線分 FF´ の中点を「中心」という
◈ 双曲線の方程式の標準形は、2 定点 F ( c , 0 ) , F´ (－ c , 0 ) を焦点として、
焦点からの距離の差が 2 a のときに、
焦点からの距離の差が 2 a のときに、
c > a > 0 とする、双曲線の方程式
| x 2 | － | y 2 | = 1 ( b = √ c 2 － a 2 ) |
| a 2 | b 2 |
◈ 焦点が F ( 0 , c ) , F´ ( 0 , － c ) のときは、
焦点からの距離の差を 2 b として、
c > b > 0 である、双曲線の方程式が
c > b > 0 である、双曲線の方程式が
| x 2 | － | y 2 | = － 1 ( a = √ c 2 － b 2 ) |
| a 2 | b 2 |
◈ c の値が x 座標になる場合と、y 座標になる場合の、
それぞれの双曲線の作図を試みます。
（ただし、焦点からの距離の差を 2 c の 倍とする）
● 2 = 2 － 2
c =
=
=
=
焦点からの距離の和 = 2 c ×
▣ 上の座標を指定します。
=
=
=
● 2 =
● PF ≒
● PF´ ≒
✥ 楕円 (ellipse) の定義
⛞ 楕円とは「 2 定点 F, F´ からの距離の和が一定である点 P の軌跡」をいう
⛞ 2 定点 F, F´ を「焦点」という
⛞ 線分 FF´ の中点を「中心」という
⛞ 焦点 F, F´ を通る直線 l と楕円との交点及び中心を通り l に垂直な直線と楕円との交点を「頂点」という
◈ 高校数学の参考書などでは、向かい合う頂点を結んでできる線分の、長いほうを「楕円の長軸」といい、短いほうを「楕円の短軸」という、と書かれています。● 通常、基本的には向かい合う頂点を通る 2 本の直線が、楕円の対称軸となります。
◎ またいっぽうで手元にある数学用語辞典には、楕円の対称軸の長いほうを「長軸」といい、短いほうを「短軸」という、と記述されています。
※ 数学において「軸」は基本的に直線だったはずですが、「楕円の対称軸」だと線分もあるようです。
◎ たとえば、楕円の対称軸の長いほうを「長軸」といい、短いほうを「短軸」という、と定めるなら「楕円の対称軸の長いほう」という表現においては、「長さの計測可能な対称軸」について語られていますので、「楕円の対称軸」は直線ではなく線分である、という前提が、必要となります。
◈ 楕円の方程式の標準形は、
2 定点 F ( c , 0 ) , F´ (－ c , 0 ) を焦点として、
焦点からの距離の和が 2 a のときに、
焦点からの距離の和が 2 a のときに、
a > c > 0 かつ a > b > 0 である、楕円の方程式
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 ( b = √ a 2 － c 2 ) |
| a 2 | b 2 |
◈ 焦点が F ( 0 , c ) , F´ ( 0 , － c ) のときは、
焦点からの距離の和を 2 b として、
b > c > 0 かつ b > a > 0 である、楕円の方程式が
b > c > 0 かつ b > a > 0 である、楕円の方程式が
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 ( a = √ b 2 － c 2 ) |
| a 2 | b 2 |
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