放物線の焦点・準線

 ◯ 放物線は、円錐曲線と呼ばれる図形の 1 つです。円錐曲線には、放物線のほかに、楕円・双曲線があります。

 ✥　放物線 (parabola) の定義

⛞　放物線とは「定点 F とそれを通らない定直線 l から等距離にある点 P の軌跡」をいう

⛞　定点 F を「焦点」といい、定直線 l を「準線」という

⛞　焦点 F から準線 l に下した垂線を、曲線の「軸」という

つまり放物線とは、

｢焦点と呼ばれる点からの距離と、準線と呼ばれる直線からの距離が、等しい点の軌跡｣

と、定義されます。

焦点を通って準線に直交する直線が、「放物線の軸」となります。
また放物線の軸と放物線との交点を「放物線の頂点」といいます。

◈　ここで、点 P から準線 l に下した垂線の足を Q として、準線の方程式が y 軸に平行、もしくは x 軸に平行となる、放物線の作図を試みます（放物線と焦点との距離 PF はピタゴラスの定理で算出します）。

　⛞　放物線の焦点・準線の位置関係の作図

▣　準線の向きを指定します。

　　　y　=　－ a　　　⇒　F ( 0 ,  a )
　　　x　=　－ a　　　⇒　F ( a , 0 )

▣　放物線を変更するための変数は 1 つにしておきます。

●　 a　=　

▣　放物線の x 座標、もしくはy 座標を指定します。

　=　

　=　

 　 =　

---

▣　準線の方程式が、

y　=　－ a

のとき、F ( 0 ,  a ) ならば、

PF　=　√ x 2 ＋ ( y － a ) 2 

PQ　=　y ＋ a

であることから、PF = PQ より、以下のことが成り立ちます。

y ＋ a　=　√ x 2 ＋ ( y － a ) 2 

∴　 ( y ＋ a ) 2　=　x 2 ＋ ( y － a ) 2

⇒  y 2 ＋ 2 a y ＋ a 2　=　x 2 ＋ y 2 － 2 a y ＋ a 2

⇒  4 a y　=　x 2

∴　 y　=	1	x 2
	4 a

---

▣　準線の方程式が、

x　=　－ a

のとき、F ( a , 0 ) ならば、

PF　=　√ y 2 ＋ ( x － a ) 2 

PQ　=　x ＋ a

であることから、PF = PQ より、以下のことが成り立ちます。

x ＋ a　=　√ y 2 ＋ ( x － a ) 2 

∴　 ( x ＋ a ) 2　=　y 2 ＋ ( x － a ) 2

⇒  x 2 ＋ 2 a x ＋ a 2　=　y 2 ＋ x 2 － 2 a x ＋ a 2

⇒  4 a x　=　y 2

∴　 x　=	1	y 2
	4 a