テオドロスの螺旋と対数螺旋

 ◯ 《テオドロスの螺旋》と名づけられた幾何学図形について、次の資料で詳しく語られていました。各種資料を参照しつつ、ひとつ作図を試みました。

  ✥　テオドロスの螺旋

『無理数の話』

　〔ジュリアン・ハヴィル／著〕

付録 A　テオドロスのらせん

　(p.347)

まず、このらせんの別名が Quadratwurzelschnecke〔平方根カタツムリ〕だということを知るとうれしいかもしれない。これは 1980 年、オーストリアの数学者で、このらせんのいくつかの性質を調べた、故エドムント・フラウカが考えた名だ。

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 ◎　上の文章に続いて、テオドロスの螺旋の ―― 作図のための ―― 座標計算は「三角形の直角でない頂点の座標を表す式を求めてみる。そのためには複素数を用いると便利だ。」と語られています。

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　(pp.347-348)

　頂点 z₁ = 1 + i から始め、複素数の加法によって、z _n から z _n+1 を作る。

z _n+1　=　z _n + 「 z _n に対して直角で長さ 1 の複素数」

複素数に i を掛けるのは、その複素数を反時計回りに 90° 回転させることで、複素数をその長さで割れば、結果として得られる複素数の長さは 1 となる。そこでこのらせんは、

z₁　=　1 + i,

z n+1　=　z n +	z n	i,　　n　=　1, 2, 3, . . .
	| z n |

として表せる。

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 ◎　この引用文は計算式のほんの始まりの部分です。
　かなり難しい計算過程を経た後に
「テオドロスのらせんは、漸近的にアルキメデスのらせんに近づいていく。」(p.352) と、述べられています。
〔引用文： 終わり〕

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 ◈　下のテオドロスの螺旋図は、極座標 ( r ,  θ ) を用いた計算法による作図です。

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 　　アルキメデスの螺旋を描かない

 　　アルキメデスの螺旋を描線する

 　　対数螺旋（ガウス平面）に変更

 　off　対数螺旋をなめらかに描線する

　⛞　アルキメデスの螺旋の係数　　( r  =  a + b θ  )

 　　　▣ 　 a　=　　　　　　▣ 　 b　=　

　⛞　ガウス平面の対数螺旋

 　　▣　1 回転して、c 倍になる　　　▣ 　 c　=　

 　　　　 ◈　回転数を変更する　　　　回転数 ：　

―― 例により、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、計算方法の紹介などとともに、以下のサイトで公開しています。

JavaScript : 自然対数 & 対数螺旋
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/spiral.html