初等関数とは、「代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、およびこれらの関数の有限回の合成で得られる、実数または複素数変数の関数」をいうと『岩波数学辞典』に説明されています。
なお、楕円の周長の近似値計算式が、『高等数学公式便覧』(p.24, p.120) に紹介されていましたので、全周の長さのおおよそはそれで計算できます。
⛞ 楕円の弧の長さは初等関数では計算できない
► つまり楕円では、円周を求めたときのようには不定積分を求められないので、関数 F ´(x) を満たす原始関数 F (x) が初等関数で表せないために、簡単には計算できないのです。 ⛞ ルート記号の計算について
✐ まずは蛇足ながら、根号 (radical sign) についての規則を確認しておきましょう。▣ 平方根 (square root) を示す記号 √ を使って、√ a と表して、ルート a と読み、この値は a が素数のときには無理数となります。また、a, b が正の数のときには、次の 3 つの式が成り立ちます。
√ a √ b = √ ab
| √ a | = | √ | a |
| √ b | b | ||
√ a 2 b = a √ b
⛞ 楕円の周長を求める楕円積分
✐ 積分計算の前に、離心率 e の値などについて、再確認しておきます。► 標準的な楕円の方程式は
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 ( c 2 = a 2 － b 2 ) |
| a 2 | b 2 |
| e = | c | = | √ a 2 － b 2 |
| a | a |
● y 2 = b 2 (1 － x 2 ∕ a 2 )
= b 2 ( a 2 ∕ a 2 － x 2 ∕ a 2 ) = b 2 ∕ a 2 ( a 2 － x 2 )
| y = | b | √ a 2 － x 2 |
| a |
| ∴ a 2 y = | a 2 b | √ a 2 － x 2 = ab √ a 2 － x 2 |
| a |
| 2 x | ＋ | 2 y | ∙ | dy | = 0 |
| a 2 | b 2 | dx |
| ⇒ | 2 y | ∙ | dy | = － | 2 x |
| b 2 | dx | a 2 |
| ⇒ | dy | = － | 2 x | ∙ | b 2 | = － | b 2 x |
| dx | a 2 | 2 y | a 2 y |
| y´ = | dy | = － | b 2 x |
| dx | ab √ a 2 － x 2 |
| = － | b | ∙ | x | |
| a | √ a 2 － x 2 |
✐ この導関数を前回確認した公式に代入して、演算を試みます。
| L = 4 | ∫ | a | √ 1 ＋ ( f ´(x)) 2 dx |
| 0 |
| = 4 | ∫ | a | √ | a 2 － e 2 x 2 | dx | |
| 0 | a 2 － x 2 | |||||
| 1 ＋ ( f ´(x)) 2 = 1 ＋ | b 2 | ∙ | x 2 |
| a 2 | a 2 － x 2 |
| = | a 2 ( a 2 － x 2 ) ＋ b 2 x 2 | = | a 4 － a 2 x 2 ＋ b 2 x 2 |
| a 2 ( a 2 － x 2 ) | a 2 ( a 2 － x 2 ) |
| = | a 4 － x 2 ( a 2 － b 2 ) | = | a 4 － a 2 x 2 ( a 2 － b 2 ) ∕ a 2 |
| a 2 ( a 2 － x 2 ) | a 2 ( a 2 － x 2 ) |
| = | a 4 － a 2 x 2 e 2 | = | a 2 ( a 2 － e 2 x 2 ) | = | a 2 － e 2 x 2 |
| a 2 ( a 2 － x 2 ) | a 2 ( a 2 － x 2 ) | a 2 － x 2 |
► ここで、x = at とおくと、dx = adt となり、
また、dt での上端は、a ∕ a = 1 に変更されます。
| L = 4 | a | dx | |||
| ∫ | √ | a 2 － e 2 x 2 | |||
| 0 | a 2 － x 2 |
| = 4 | a | d (at) | ||||
| ∫ | √ | a 2 － e 2 (at) 2 | ||||
| 0 | a 2 － (at) 2 |
| = 4 | 1 | a | dt | ||||
| ∫ | √ | a 2 (1 － e 2 t 2 ) | |||||
| 0 | a 2 (1 － t 2 ) |
| = 4a | 1 | dt | ||||
| ∫ | √ | 1 － e 2 t 2 | ||||
| 0 | 1 － t 2 |
| = 4a | 1 | dt | ||||
| ∫ | √ | (1 － e 2 t 2 ) 2 | ||||
| 0 | (1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 ) |
| = 4a | 1 | dt | |||
| ∫ | (1 － e 2 t 2 ) | ||||
| 0 | √ (1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 ) |
| = 4a | 1 | (1 － e 2 t 2 ) | dt | |||
| ∫ | 1 | |||||
| 0 | √ (1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 ) |
| u = | x | ||
| ∫ | dt | ||
| 0 | √ (1 － t 2 ) (1 － k 2 t 2 ) |
⛞ 楕円積分の別解
✐ 円では、y ≧ 0 となる半円の長さを計算し、2 倍しました。 ▣ sin π = 0
▣ cos π = － 1
| L = 2 | π |
√ (－r sinθ ) 2 ＋ ( r cosθ ) 2 dθ | |
| ∫ | |||
0 |
| = 2 | π |
r dθ | ||
| ∫ | ||||
0 |
| = 2 [ r θ ] | π | = 2 ( r π － 0) = 2 πr | |
| 0 |
▣ x = a cosθ
▣ y = b sinθ
▣ sin2θ ＋ cos2θ = 1
| L = 2 | π |
√ (－a sinθ ) 2 ＋ ( b cosθ ) 2 dθ | |
| ∫ | |||
0 |
(－a sinθ ) 2 ＋ ( b cosθ ) 2 = a 2 sin2θ ＋ b 2 cos2θ
= a 2 (1 － cos2θ ) ＋ b 2 cos2θ = a 2 － a 2 cos2θ ＋ b 2 cos2θ
= a 2 － ( a 2 － b 2 ) cos2θ = a 2 － a 2 cos2θ ( a 2 － b 2 ) ∕ a 2
= a 2 － a 2 e 2 cos2θ = a 2 (1 － e 2 cos2θ )
= a 2 (1 － cos2θ ) ＋ b 2 cos2θ = a 2 － a 2 cos2θ ＋ b 2 cos2θ
= a 2 － ( a 2 － b 2 ) cos2θ = a 2 － a 2 cos2θ ( a 2 － b 2 ) ∕ a 2
= a 2 － a 2 e 2 cos2θ = a 2 (1 － e 2 cos2θ )
| L = 2 | π |
√ a 2 (1 － e 2 cos2θ ) dθ | |
| ∫ | |||
0 |
| = 2 a | π |
√ 1 － e 2 cos2θ dθ | ||
| ∫ | ||||
0 |
| = 4 a | π/2 |
√ 1 － e 2 cos2θ dθ | ||
| ∫ | ||||
0 |
| = 4 | dx | ||||||||
| ∫ | a | 1 ＋ ( | dy | ) | 2 | ||||
| √ | |||||||||
| 0 | dx | ||||||||
| = 4 | dx | |||||
| ∫ | a | √ (dx) 2 ＋ (dy) 2 | ||||
| 0 | dx | |||||
| L = 2a | π |
√ 1 － e 2 cos2θ dθ | |
| ∫ | |||
0 |
| L = 2a | π |
√ 1 dθ = 2a | π |
dθ = 2aπ | ||
| ∫ | ∫ | |||||
0 |
0 |
⛞ 楕円積分の公式・楕円の周長と近似式
◯ 次に参照する資料で例示されるように、標準の楕円積分では、離心率 e ではなく、k が使われます。『高等数学公式便覧』
河村哲也／監訳・井元薫／訳〔2013年06月15日 朝倉書店／発行〕
(p.120)
8.5 楕円積分
楕円積分第 1 種
| F (k, φ) = | φ | dψ | |
| ∫ | |||
| 0 | √ 1 － k 2 sin2 ψ | ||
| = | sinφ | dt | ||
| ∫ | ||||
| 0 | √ 1 － t 2 √ 1 － k 2 t 2 | |||
楕円積分第 2 種
| E (k, φ) = | φ | √ 1 － k 2 sin2 ψ dψ | |
| ∫ | |||
0 |
| sinφ | dt | |||||
| = | √ | 1 － k 2 t 2 | ||||
| ∫ | ||||||
| 0 | 1 － t 2 | |||||
楕円積分第 3 種
| Π (h, k, φ) = | φ | dψ | |||
| ∫ | |||||
| 0 | (1 ＋ h sin2 ψ) √ 1 － k 2 sin2 ψ | ||||
離心率 k = sin α = √ a2 － b2 ∕ a（ = ε 、24 ページを見よ）のときの
| 楕円 | x 2 | ＋ | y 2 | = 1 |
| a 2 | b 2 |
| は周長 U = 4 a | π ∕ 2 | √ 1 － k 2 sin2 ψ dψ | |
| ∫ | |||
0 |
| = 4aE (k , | π | ) を持つ。 | |
| 2 |
(p.24)
楕円
| 周囲の長さ U ≈ π ( 3 | a ＋ b | － √ ab ) , |
| 2 |
| U = 4a | π/2 | √ 1 － ε 2 sin2 t dt = 4aE ( ε , | π | ) | |
| ∫ | |||||
| 0 | 2 | ||||
⛞ 楕円の周長計算
楕円の周長の具体的な計算は、『高等数学公式便覧』(p.120) に簡潔に記述されていますので、改行を多用して、その部分も引用しておきましょう。| 楕円 | x 2 | ＋ | y 2 | = | x 2 | ＋ y 2 = 1 |
| 2 2 | 1 2 | 4 |
● a = 2
● b = 1
● k = e = √ a 2 － b 2 ∕ a
| = sinα = | √ 3 | ||
| 2 |
● α = 60 °
● k 2 = 3 ∕ 4
| U = 8 | π ∕ 2 | √ 1 － (3 ∕ 4) sin2 ψ dψ | |
| ∫ | |||
0 |
| = 8E ( √ 3 ∕ 2 , π ∕ 2 ) = 8E ( sin60° , 90° ) |
● U = 8 ∙ 1.2111 = 9.6888
| U ≈ π ( 3 | a ＋ b | － √ ab ) |
| 2 |
| = π ( 3 | 2 ＋ 1 | － √ 2 ) | |
| 2 |
● U ≈ 9.6943
と、計算がなされています。
✥ ここまで見てきた曲線の長さ（弧長）の方程式では、楕円の一部を取り出した《楕円の弧長》の計算は難しいけれども、その全周である《楕円の周長》の近似値ならば、比較的容易に計算できることがわかりました。近似値計算の結果とともに、図示しておきましょう。
a = b = U ≈
⛞ 楕円の面積を微分してみる
✐ 最後に試行として、楕円の面積を微分してみます。◎ 楕円の面積を √ ab で微分します。
S = ab π において、
T = t 2 π へ変換するために、
t = √ ab と、おけば
T ´ = 2 t π = 2 √ ab π =
今回も同様に JavaScript によるプログラムを、このページ内に同梱しています。
―― また楕円の方程式と積分の図などについて、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、計算方法の紹介などとともに、以下のサイトで公開しています。
JavaScript : 円と楕円の弧の方程式
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/ellipse.html
