対数螺旋・黄金螺旋・アルキメデスの螺旋

　昨日、動作不良を起こしたスクリプトは、来週公開予定のサイトでは、通常に動作するはずのものなのですが、この環境においては実際に不具合が認められましたので、少々仕様を改めた修正バージョンで、本日再挑戦します。
　昨日にも書いたことですが、方程式を調べて、JavaScript を使い作図しました。

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　黄金螺旋がよく近似しているとされる対数螺旋 (logarithmic spiral) は、等角螺旋 (equiangular spiral) ともいわれ、また、自然曲線とも生命の曲線とも呼ばれます。

 ◯　佐藤修一氏の『自然にひそむ数学』からポイントとなる解説を参照して、独自に、数値の操作可能な作図を試みます。

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ブルーバックス B-1201　〔1998年01月20日　講談社／発行〕

『自然にひそむ数学』 〔佐藤修一／著〕

Ⅺ　自然の中のうず巻きとフィボナッチ数

　(p.226)

　アルキメデスのらせんは、「回転角 θ に比例して動径 r が増加する曲線」ですから、このらせん上の任意の点を P ( r , θ ) として極座標で表すと、a を定数として、

r = a θ

のようになります。

　(p.227)

　対数らせんでは、らせんの中心から引いた直線と接線がなす角度は半径とは関係なくつねに一定です。このことから、対数らせんは「等角らせん」とも言われます。

　(p.228)

　対数らせんは、違った部分を同じ角度だけ切り取ったとき、切り取られた 2 つの部分は大きさが違っても必ず相似形になるという不思議な性質をもっています。対数らせんのこの性質は「自己相似性」と言われます。

　(pp.229-230)

　ところで、対数らせんは、極方程式

r = a ^θ

を満たす曲線です。この曲線の極方程式は

r = a e ^kθ

のように表現しなおすことができ、さらにこの方程式は

log r = θ log k

あるいは

log r = a θ

のような形に表現しなおすこともできます。この式からも明らかなように、対数らせんは「回転角 θ が動径の長さ r の対数値に比例する曲線」と言いなおすことができます。

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⛞　対数螺旋・黄金螺旋・アルキメデスの螺旋

【対数螺旋】係数設定　　r　=　a  ( e ^{k θ} )

　a　=　　　k　=　　　係数値を初期化する

◎ 螺旋選択：

【アルキメデスの螺旋】極座標　( r , θ ) において

r　=　θ

【回転する対数螺旋】係数固定

a　=　2.5 * 8 px　=　20 px

k　=　0.15

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　今回の JavaScript のバージョンは、いつものようにこのページ内に同梱してあります。

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　【翌 5月 10日：追記】
　エラーの原因が判明したので、本来の仕様に戻して、修正完了。