媒介変数を使って楕円を描く方法がとても便利なので、その計算式の紹介となります。
⛞ もうひとつの楕円の定義
◎ 2 定点 F ( c , 0 ) , F´ ( －c , 0 ) を焦点として、焦点からの距離の和が 2 a のときに、a > c > 0 かつ a > b > 0 である、楕円の方程式
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 ( b = √ a 2 － c 2 ) |
| a 2 | b 2 |
◎ また、2 定点 F ( 0 , c ) , F´ ( 0 , －c ) を焦点として、焦点からの距離の和が 2 b のときに、
b > c > 0 かつ b > a > 0 である、楕円の方程式
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 ( a = √ b 2 － c 2 ) |
| a 2 | b 2 |
✐ ［ x 2 ＋ y 2 = a 2 ］の円周上の点を P ( x0, y0 ) とし、
その y 座標を b ∕ a の比で縮小した点を Q ( x1, y1 ) として考えます。
x1 = x0
y1 = ( b ∕ a ) y0
● この前提より、y1 = ( b ∕ a ) y0
x0 = x1
y0 = ( a ∕ b ) y1
● 点 P で［ x0 2 ＋ y0 2 = a 2 ］が成り立つので、y0 = ( a ∕ b ) y1
x1 2 ＋ { ( a ∕ b ) y1 } 2 = a 2
∴ x1 2 ＋ ( a ∕ b ) 2 y1 2 = a 2
▣ この両辺を a 2 で割れば、次の式になります。| x1 2 | ＋ | y1 2 | = 1 |
| a 2 | b 2 |
| θ = ° | b ∕ a = 2 ∕ 3 | |
| x = | y1 = | y0 = |
✥ 円と楕円の媒介変数 (parameter) 表示
◯ ここで参考書の説明を引用しておきましょう。ちなみに、媒介変数（ばいかいへんすう）は、数学の辞典には、助変数（じょへんすう）の項で掲載されています。18. 4 媒介変数で表される曲線
(pp.943-944)
◆ 曲線の媒介変数表示一般に、平面上を点 P (x, y) が運動するとき、その x 座標、y 座標は時刻 t の関数として
x = f (t) , y = g (t)
と表されるでしょう。このとき、t の変化にともなって、点 P は平面上の 1 つの曲線をえがきます。このように、平面上のある曲線の x 座標、y 座標が 1 つの変数 t によって上の形に表されるとき、これをその曲線の媒介変数表示またはパラメーター表示といい、t を媒介変数またはパラメーターといいます。運動する点がえがく曲線の媒介変数表示においては、媒介変数は時間あるいは時刻 (time) です。しかし一般には、媒介変数は必ずしも時刻である必要はありません。また、それを表すのにいつも文字 t を用いる必要もありません。
⛞ 円の媒介変数表示
◈ 中心が原点 O (0, 0) で、半径が a の円の方程式は、x 2 ＋ y 2 = a 2
なので、円周上の点 P (x, y) の座標を三角関数で表現すれば、x = a cos θ
y = a sin θ
となって、これは、原点 O を中心とする、半径 a の円の媒介変数による表示でもあります。 ⛞ 楕円の媒介変数表示
◈ 標準的な楕円では、x 軸に対して、y 軸が b / a 倍になるので、x = a cos θ
y = b sin θ
ということになります。◎ 楕円の方程式は、〈陰関数表示〉で、
| x 2 | ＋ | y 2 | = 1 |
| a 2 | b 2 |
x = a cos θ
y = b sin θ
となるわけです。試しに、媒介変数表示の x, y を陰関数表示に代入してみれば、| a 2 ( cos θ ) 2 | ＋ | b 2 ( sin θ ) 2 | = 1 |
| a 2 | b 2 |
∴ ( cos θ ) 2 ＋ ( sin θ ) 2 = 1
● これは三角比の平方公式sin 2 θ ＋ cos 2 θ = 1
と、一致しています。【三角比の平方公式】
◈ ピタゴラスの定理だと、次のようになります。
[ a 2 ＋ b 2 = c 2 ]
▣ cos θ = a ∕ c
▣ sin θ = b ∕ c
| ( cos θ ) 2 ＋ ( sin θ ) 2 = | a 2 | ＋ | b 2 |
| c 2 | c 2 |
| = | a 2 ＋ b 2 | ＋ | c 2 | = 1 |
| c 2 | c 2 |
x 2 ＋ y 2 = 1
なので、その円周上の点 P (x, y) の座標で、( cos θ ) 2 ＋ ( sin θ ) 2 = 1
が成り立つわけです。今回の JavaScript によるプログラムも、このページ内に同梱しています。
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