〈円の面積〉は《円周の積分》であるということ

重力加速度のグラフ

　高校の数学で学ぶ、微分・積分では、なにやら積分のほうが難しく感じられるのですけれど、

▣　移動距離 ＝ 速度 × 時間

というのは、それらの速度を y 軸に、時間を x 軸にして、速度変化を示す時間の 1 次関数のグラフを書いて、面積を計算すればよかったのでした。
　距離（長さ）という 1 次元が、面積という 2 次元で、表現されているわけです。

このように、等速直線運動（等速度運動）で離れていく距離だけでなく、等加速度運動によって離れていく距離も計算できるその手法は、

▣　距離は速度の時間積分である

と、表現されるのです。

▣　y = f (x) =［時間］	(s) ×	［速度］	(m/s)　÷ 2  =	［距離］	(m)
▣　y = f (x) =	(s) ×		(m/s)　÷ 2  =		(m)

◈　上の操作可能な図は、初速を 0 (m/s) とした、
重力加速度による速度変化のグラフです。
一応、地上付近では一定の加速度であるとみなされていて、
（空気抵抗さえなければ、）
一定の割合で加速し続けていくことになっています。

◎ 重力加速度 ＝ 9.8 メートル毎秒毎秒 ( g = 9.8 m  ∕ s2 )

◈　このグラフで、時間 (x) を底辺にとれば、
速度 (y) を高さにした、直角三角形の面積を計算することで、
移動距離 (l) の推移がわかります。

◈　このように使い回す方程式などの計算式を
関数・函数 (function) といって、y が x の関数である場合、

y = f (x)

と、書かれます。

●  最初の［ y = f (x) ］は、［速度＝加速度×時間］です。

●  ここでは、次の［ y = f (x) ］であるところの［ l = f (y) ］が積分の計算と同じ、という次第です。

（ ※ 幸いなことに［ y = f (x) ］は 1 次関数なので、直線のグラフで表されました。）

●  そういった事情で［ l = f (y) ］は［面積＝底辺×高さ÷２］という、三角形の面積の公式で代用できるのです。

●  高校の物理では、距離を l 、加速度を a 、時間を x として、

l　=	1	ax2
	2

という公式で学ぶことになっているようです。
ここで距離 l を y 軸にしたら、曲線のグラフになり、
さらに、その曲線のグラフを微分すると、
接線の傾きとして速度（瞬間速度）が算出されます。

✤　単位を含んだ掛け算とか割り算の話は、以前にブログで書いていたので、これも使い回しておきましょう。

「指数の引き算は割り算として考える」

（2017年3月16日木曜日）

単位の話　またたび
思い起こすと、速度の単位は〝メートル毎秒〟などであらわされますが、
加速度になるとこれが〝メートル毎秒毎秒〟などと、わけのわからぬものになります。

これは、たとえば、〝 5 メートル毎秒毎秒〟の加速度という場合、
「 1 秒につき〝 5 メートル毎秒〟の速度が追加もしくは削減される」
ことを表現しています。
（ブレーキも、計算上は、加速度なのです。マイナスをつけて考えます。）

〝 5 メートル毎秒〟というのは、1 秒ごとに 5 メートル移動する能力ですから、
〝毎秒その能力が変化していく〟という状態なわけです。
だから、〝 5 メートル毎秒毎秒〟ということになるのですが……。
それがすなわち、加速している、という状態の表現になるわけですな。
――さっぱり、前に進めない、解説なのですけれども。

円周と面積のグラフ

✥　さて、《円の面積》は、は円周の積分になります。

半径 ＝

●  これを［ y = f (x) ］で表せば、

▣　円の面積 = f (円周)

となるわけですが、円の公式は、

◈　円周：2πr

◈　面積：πr2

であるので、上の物理公式

l　=	1	ax2
	2

にならって、面積を l の記号で表すと、

l　= πr2 =	1	(2π) r2
	2

となって、r が時間と同じ役割を果たし、
2π が加速度の位置におさまっています。
これをグラフにしたのが、2 番目の操作可能な図です。
ところで、距離に関しては、

▣　距離は速度の時間積分である

と表現されていて、速度は［加速度×時間］でしたから、

〔※ 蛇足ながらも円周率は円周と直径の長さの比率です〕

（そして円周は［円周率×半径の 2 倍］なので）

▣　円の面積は円周の半径積分で計算できる

と、いうことができそうですな。でもって逆に、

〈面積を微分すると、円周を求めることができる〉のです。

「グラフを 切り替える」ボタンで、試してみてください。