円の接線については、中学で習います。
円 O の円周上の点 P を通る、半径 OP に垂直な直線 m を引きます。そのとき、円 O の円周と直線 m は、1 つの点 P だけを共有します。
反対に、円 O と直線 m が、円周上の 1 つの点 P だけを共有するとき、半径 OP は直線 m と垂直になります。
これが、円の接線になります。
円の接線は、三角関数を使って計算できます。
下のグラフを操作してみれば確認できるようにグラフの形は同じで 、サインの値は、コサインの値と 90 度ずれているだけです。
つまり、サイン曲線 の値は、コサインの角度に 90 度を足したときの値になっています。
その他の曲線の接線は、少しややこしくなります。
とある曲線と直線が、ある 1 点だけを共有する場合、その直線はその曲線の接線になります 。
このとき「ある 1 点だけを共有する」というのは、「曲線の 2 点間を結んだ直線のその 2 点間の距離が 0 になった状態」をさしています。
ですから、簡単にいって、その曲線の 2 点間を結んだ直線は、接線とは呼ばれません。
しかしながら、たとえば円を描く際に 1 度刻みの角度で、まっすぐな線をつなげて描いたなら、それはほぼというか、まったくもって、円に見えることでしょう。
そういうわけで、もし仮に曲線を表示する場合に、1 度刻みで引いた線分をつなげてその曲線を描いていて、そこでそのそれぞれ、各々の線分の両端を無制限に延長してみたなら、一見して、それが曲線の接線とイメージされることもありましょう。
それは接線のように見えるので、暫定的に、接線とみなしてもよいように思われます。
実際のところ、いずれにせよ数学上の計算には誤差はつきもので、三角関数だっていわば暫定的な数値なのですし。
とはいっても、やはり誤差はできるだけ少なくしていく方向で考えるべきでしょう。
(暫定的ではない曲線の接線は、微分を使って計算するようです。)
今回は、その座標位置における前後 0.1 度ずつの値を結ぶ線分を仮定して、3000 倍に延長してみます。
※ たとえば、180 度の位置なら、179.9 度と 180.1 度の値を結ぶ線分の延長になります。
※※ 今回は、暫定的に
それをその曲線の接線とみなしておくわけです。
◈ サインカーブ・コサインカーブと暫定接線 ◈
sin 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 ° = 0
cos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 ° = -1
―― コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、前回と同じサイトで公開しています。
「三角関数のグラフと曲線の傾き」
《サインカーブ・コサインカーブ・タンジェントの漸近線》
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/parabola.html#gradient
JavaScript : 双曲線と放物線
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/parabola.html
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