JavaScript: 2 次曲線の接線の方程式

　曲線を描く関数を微分することで、接線の方程式を求めることができます。
　（接線は直線なので、その方程式は、1 次関数となります。）

◎　方程式に導関数が含まれていれば微分方程式になるのですね。

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●　微分して得られる微分係数は関数として考えられるので、導関数と称されるのです。
✥　導関数［ ◈  ディーワイ、ディーエックス  ◈ ］

▣	dy
	dx

◈　この下の見本の放物線［ 2 次関数： y = x2 ］の、任意の地点 P の接線の方程式は、放物線の方程式を微分することで求めることができます。
◈　この接線の傾き［ 1 次関数： y = 2x ］が、微分方程式［ y = x2 ］の導関数になります。
▸　2 次関数を微分して求めた接線の傾きは、2 次関数の導関数になるわけです。

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✥　微分の計算の復習

●　考え方としては、まず任意の 2 つの地点間の傾き（平均変化率）を求めました。

　2 地点の座標と傾き m を

　　●　P ( p ,　p2 )

　　●　Q ( q ,　q2 )

▣　m　=	q2 － p2
	q － p

とすれば、差分 Δx = h における傾き m は、 q の値を、( p ＋ h) と置き換えて、

　[ q2　=　( p ＋ h)2　=　p2 ＋ 2ph ＋ h2 ]

と、計算されるので、

▣　m　=	( p2 ＋ 2ph ＋ h2 ) － p2	=	2ph ＋ h2
	( p ＋ h) － p		h

したがって、

▣　m　=	2ph ＋ h2	=	h × (2p ＋ h )	=  2p ＋ h
	h		h

となり、ここで p を x として、m を x の関数 y と書けば、次の式が導かれます。

　　▣　y　=　f (x)　=　2x ＋ h

◯  さらにここで、h が限りなく 0 に近づくとすると、数学上の書式として、

　　▸　y　=　2x

であるかのように表現されることになります。

◎　この関数（瞬間変化率）は、もとの関数［ 2 次関数： y = x2 ］の導関数で、微分係数なのでした。

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　✥　微分係数の演算式と計算結果

　　　　●　y　=　f (x)　=　x2　の 場合

▣　y´　=　f ´(x)　=	dy
	dx

▣　f ´(x)　=	lim  Δx → 0	f (x ＋ Δx ) － f (x)	=  2x
		Δx

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　✥　1 次関数の方程式と切片の計算

▣　y　=　ax ＋ b

▣　b　=　y － ax

 　※　切片 b の計算に必要なのは、
 　　 傾きと、1 点の ( x , y ) 座標です。

●　点 P ( x , y ) 座標の微分計算

◈　もとの 2 次関数

▣　y　=　f (x)　=　x2

◈　導関数（接線の傾き）

▣　y´　=　f ´(x)　=　2x

◈　2 次関数の曲線の接線の傾きと切片の計算

〔 ※ 微分方程式と座標点 P ( x , y ) における接線の傾きと切片 〕

▣　f (x)　=　y　=　x2

▣　f ´(x)　=　2x

▣　b　( =　y － ax )

　　　　=　y － 2x × x　=　x2 － 2x2

　　　　=　－ x2　=　－ f (x)

◈　点 P ( x , y ) を通る接線の方程式

〔 ※ 接線の各座標を点 P´ ( p_x , p_y ) とする〕

◈　p_y　=　f ´(x) × p_x －  f (x)

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◆　2 次関数の曲線に対する接線の方程式の基本形　◆

　放物線の　x 座標： 　,　y 座標：

　　　　　f ´(x)   =　2x　=　

✥　接線の切片 b と接線の x 座標に対する y 座標

　　　　　▣　b　=　- x2　=　- f (x)   =  

◆　接線の方程式

◈　  y   =

×

＋ b   =

―― 例により、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載した最新版のページを、以下のサイトで公開しています。

JavaScript: 円の接線と面積
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/limit.html