白銀長方形と黄金長方形

　フィボナッチ数列の数を、その項の前の数で割ると、多少揺れ動きながら、項のナンバーが大きくなるにつれ黄金比に近づいていきます。
　このことは、数学的に正しいと立証されていることです。
　また「多少揺れ動きながら」というのは、黄金比の値の上下を往復しながら、という現象を表現したつもりです。
　この下にサンプルプログラムを用意していますので、〝 Fibonacci 数列 〟の値を変更して、確かめてみてください。

　さて、といったところで。
　黄金比の話題でしばしば一緒に登場するのが、白銀比です。

黄金比の約 1.618 に対して、
白銀比は √2 ≒ 1.414 であると語られています。

しかしながら、黄金長方形と並べて作図する白銀長方形の場合、
白銀比は 1＋√2 ≒ 2.414 の比率になります。

これは 黄金比・白銀比・青銅比と、続いて定式化されている
いわゆる《貴金属比》の比率が用いられているためです。

　こうなってくると、白銀比に 1 を足すと同じ名前の白銀比になってしまって、とても不都合なわけです。
　√2 の白銀比は〈大和比〉の名称でも呼ばれているようですので、そっちの呼び名のほうが混乱が少なくていいかもしれませんね。

　A 判と B 判のコピー用紙の縦横は、この〈大和比〉の比率になっています。
（ちなみにこの規格の長方形は、諸外国では √2 長方形と呼ばれているようです。）

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⛞　フィボナッチ数列の計算

Fibonacci 数列	第 n 項	第 n ＋ 1 項
n　=

⛞　フィボナッチ数列の分数計算

		=

⛞　黄金比の方程式の解の数値

❖　 φ　=	1 ＋ √ 5	=
	2

【方程式の解】
● 黄金比の方程式［ x2 － x － 1　=　0 ］を、
　 　2 次方程式［ ax2 ＋ bx ＋ c = 0 ］の解、

x　=	－ b ± √ b2 － 4ac
	2a

　にあてはめて解くと、

x　=	1 ± √ 12 ＋ 4	=	1 ± √ 5
	2		2

　なので、そのプラスの値を解とする。

x　=	1 ＋ √ 5
	2

⛞　白銀比・青銅比の計算

❖　白銀比 　=	2 ＋ √ 8	=
	2

❖　青銅比　=	3 ＋ √ 13	=
	2

【方程式の解】

● 白銀比の方程式［ x2 － 2x － 1　=　0 ］の解。

x　=	2 ± √ 22 ＋ 4	=	2 ± √ 8	= 　1 ± √ 2
	2		2

● 青銅比の方程式［ x2 － 3x － 1　=　0 ］の解。

x　=	3 ± √ 32 ＋ 4	=	3 ± √ 13
	2		2

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✥　白銀長方形と黄金長方形

 ◈  白銀長方形は正方形の 1 辺に対し、正方形の対角線の長さを加えて、長方形の 1 辺を構成する。

 ◈  黄金長方形の特徴の 1 つとして、下の図のような組み合わせで描くときには、横長の長方形の対角線延長上に、縦長の長方形の頂点の 1 つが位置する。

φ　 =	1 ＋ √ 5	=
	2

　▣　 ∠ABC　=　∠BCD

　▣　 1  :  ( φ － 1 )　 =　( φ ＋ 1 )  :  φ

1	=	( φ ＋ 1 )
( φ － 1 )		φ

 　　φ　 =　( φ ＋ 1 ) ( φ － 1 )

　∴　 φ　 = 　φ2 － 1

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　【 φ　=　φ2 － 1 】の 検算のための演算例

φ2 　 =	( 1 ＋ √ 5  )2	=	1 ＋ 2 √ 5  ＋ 5
	22		4

=	3 ＋ √ 5	= 　　1 ＋	1 ＋ √ 5
	2		2