n 次関数のグラフの接線の方程式

　✥　k · x³ の微分

　◎　y = kx³ の微分は、定数倍の関数を微分する方法を利用します。

▣　y　=　kx³　=　k f (x)

▣　y´　=　{ k f (x)´ }　=　k f ´(x)　=　3kx²

　✥　ax² ＋ bx ＋ c の微分

　◎　足し算や引き算のある関数の微分は、それぞれの関数を微分する方法を利用します。

▣　y　=　f (x) ＋ g (x)

▣　y´　=　{ f (x) ＋ g (x) }´　=　f ´(x) ＋ g ´(x)

---

▣　y　=　f (x) － g (x)

▣　y´　=　{ f (x) － g (x) }´　=　f ´(x) － g ´(x)

---

▣　y　=　bx

▣　y´　=　b

---

▣　y　=　c

▣　y´　=　0

---

　というわけで、方程式に足し算や引き算が含まれる場合には、それぞれの項を微分してから足し算や引き算をすればよい、という微分のルールが適用されるのです。

 ▣　 なので、たとえば、それぞれの関数が、

　　◍　 f (x)　=　ax²

　　◍　 g (x)　=　bx

　　◍　 c (x)　=　c

であるとき、

▣　y　=　ax² ＋ bx ＋ c

の微分は、

●　y´　=　f ´(x) ＋ g ´(x) ＋ c ´(x)

◍　 f ´(x)　=　2ax

◍　 g ´(x)　=　b

◍　 c ´(x)　=　0

として、次の計算をすればよいわけです。

●　y´　=　2ax ＋ b

◈　同様に、3 次方程式

▣　y　=　ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d

の場合には、

●　y´　=　3ax² ＋ 2bx ＋ c

という具合になります。

---

 f (x)  =   × x⁴ ＋ × x³ ＋ × x² ＋ × x ＋

●　x　=

●　y　=　f (x)　=

⛞　接線 [ τ ] の座標点を P ( p_x ,  p_x ) とする　⛞

 ◈ 　p_x　=　

 ◈ 　p_y　=　

⛞　接線の方程式　／　 切片 :　[ c　=　b － m a ]　⛞

　◈　　p_y　=　m (p_x － a) ＋ b

a　=　x　=　

●　b　=　y　=　

●　m　=　y´　=　f ´(x)　=　

●　 c　=　

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　✥　n 次関数のグラフの接線の方程式（まとめ）

✤　3 次関数 ［ y　=　ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d ］ の 導関数

●　 y´　=　f ´(a)　=　3ax² ＋ 2bx ＋ c

✤　4 次関数 ［ y　=　kx⁴ ＋ ax³ ＋ bx² ＋ cx ＋ d ］ の 導関数

●　 y´　=　f ´(a)　=　4kx³ ＋ 3ax² ＋ 2bx ＋ c

⛞　n 次関数［ y　=　f (a) ］の 接線の傾き m の 関数

▣　 m　=　y´　=　f ´(a)

⛞　n 次関数が描く曲線の接線の方程式［ y  =  m x ＋ c ］の演算

〔※ 曲線と接線が共有する　x ,  y　座標を それぞれ　a ,  b　とする〕

✥　 y　=　m x ＋ c

▣　 a　 = 　a

▣　 b　 = 　f (a)

▣　 m　= 　f ´(a)

▣　 c　 = 　b － ma　 = 　f (a) － f ´(a) a

∴　 y　=　f ´(a) x ＋ f (a) － f ´(a) a

---

✥　 y　=　m (x － a) ＋ b

✥　 y　=　f ´(a) (x － a) ＋ f (a)

●　 y　=　f ´(a) x － f ´(a) a ＋ f (a)

―― 例により前回分を含む、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、以下のサイトで公開しています。

JavaScript: n 次曲線の接線
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/tangent.html