円の接線の方程式

　数学上認められている、無限に循環を繰り返す《循環小数》の計算があります。

「循環小数の作り方」by takechan

　1 ÷ 1 = 1
　1 ÷ 2 = 0.5
　1 ÷ 3 = 0.333333333333333 ……
　1 ÷ 4 = 0.25
　1 ÷ 5 = 0.2
　1 ÷ 6 = 0.166666666666666 ……
　1 ÷ 7 = 0.142857142857142 ……
　1 ÷ 8 = 0.125
　1 ÷ 9 = 0.111111111111111 ……

◎ 〈1 ÷ 3〉〈1 ÷ 6〉〈1 ÷ 7〉〈1 ÷ 9〉が、循環小数となっています。
　無限に繰り返される数の上に〈・〉をつけて記述される場合もあります。繰り返しの数が複数にわたる場合には、最初と最後の数字の上にだけ〈・〉をつけます。

　上につけられる〈・〉が見つからなかったので、今回は〈̊〉で代用して記述してみることにします。

「循環小数の書き方の模索」by takechan

　　0.3̊ = 0.333333333333333 ……
　　0.16̊ = 0.166666666666666 ……
　　0.1̊42857̊ = 0.142857142857142 ……
　　0.1̊ = 0.111111111111111 ……

　さてここで、数学マジックに惑わされないように気をつけつつ、〈1 ÷ 3〉に注目してみましょう。
　これを分数の形で 3 倍すると、もちろん 1 になります。が、小数の形で 3 倍すると、

　［（3 分の 1）× 3 ＝ 1 ］
　　0.3̊ × 3 ＝ 0.9̊ ＝ 0.999999999999 ……

となることは、明白なのです、困ったことに。

◎ そういうわけで、

　　0.9̊ ＝ 1

であることが数学的に証明されてしまうのだ。説明しよう。

「循環小数に関する証明の一例」

　計算を簡単にするために、まず
　　0.9̊ ＝ a
　と記号化して、それを 10 倍してから、1 倍を引く。
　　a × 10 ＝ 10a
　　10a － a ＝ 9a
　これを、実際の数字でやってみる。
　　0.9̊ × 10 ＝ 9.9̊
　　9.9̊ － 0.9̊ ＝ 9
　したがって、［ 9a ＝ 9 ］となるので、
　　　a ＝ 1
　∴　0.9̊ ＝ 1

　無限大〈 ∞ 〉の怪物に立ち向かうためには、この魔法を納得する必要があるのでしょうか？
　このまま、騙されたと思いつつも、極限の世界へ突入することになります。

微分からの円の接線の方程式

◈　極限 (limit) の世界

　極限というのは、いわば〈 ∞ 〉の一歩手前、〈 0 〉の一歩手前、を考える作業です。
　今回は、微分の入門編を目的としていますので、〈 0 〉の一歩手前を考えることにします。

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　限りなく 0 に近づく値という場合、たいていは、プラスの数がイメージされているようです。
　この極限について、座標の原点を中心とする円 O の、2 点間を結ぶ直線で考えてみます。

▣　円周上の 2 点をそれぞれ、点 P (px, py) 、点 Q (qx, qy) とします。

円と交差する直線の傾きを計算することになります。
　ふたつの点は、円周上の任意の場所にありますが、ふたつとも同じ位置の際には、2 点間の距離が限りなく 0 に近づいた状態であると、仮にみなしておきます。
　そういう極限状態の際に、直線 PQ は円 O の接線になるのでした。

 　▣  P 座標の角度 °　 　　▣  Q 座標の角度 °

点 P (	px	,	py	)
P 座標 (		,		)

点 Q (	qx	,	qy	)
Q 座標 (		,		)

 ▶　2 点間の平均変化率（直線の傾き）

 　　 　　(qy - py)  ∕  (qx - px)　=　

◯　円の接線（三角関数の微分）

●  P と Q の座標の角度 ＝ θ（度） として

　 [ sin x の微分は、(sin x)´ と記述される ]

●　(sin θ )´　=　cos θ

●　(cos θ )´　=　－ sin θ

◈ P, Q の座標の値を (x, y) とするとき
▣　接線の切片： y － ( － x ÷ y × x )

▣　　　=　y ＋ x2 ÷ y

　◎　円の方程式

⛞　　x2 + y2　=　r2

　◎　円の接線の方程式

 ▶　　x2 + y2　=　r2 より、

半径 r の円周上の座標を ( r*cosθ ,  r*sinθ ) とし、さらに

px　=　cosR　=　r*cosθ
py　=　sinR　=　r*sinθ

と記号化して、円周上の x 座標、y 座標を記述するとき、
接線の x , y 座標の方程式は、

▣ 　y　=　f (x)　=　－	px	x ＋ py ＋	px2
	py		py

=　－	px	( x － px) ＋ py
	py

▣ 　f (x)　=　－	cosR	x ＋ sinR ＋	cosR2
	sinR		sinR

=　－	cosR	( x － cosR) ＋ sinR
	sinR

●　ここで記号化した px , py , cosR, sinR は、それぞれ文字ごとには分割できない記号として用いています。
●　また通常、混乱を避けるために px , py は、p_x , p_y のように、添え字で記述されるようです。

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さて、極限の値を考えるには、まずグラフ座標の 2 点間の傾きを求めます。
　これが、2 つの値の間の平均変化率になります。
　最初に登場する記号は h で、これは 0 よりも大きい、とても小さな数を示しています。
　この h は x の値の差 (difference) を表しているため、Δx とも書かれます。Δ (delta) はギリシャ文字で、このとき Δx は分割できない 1 つの記号として表現されており「デルタエックス」と読みます。

◈　平均変化率は、

Δy

Δx

で表現され、さらに、［ y　=　f (x) ］を微分した関数は［ y´　=　f ´(x) ］と書かれ、

dy

dx

という具合に、用いられる記号も、変わります。

◈　微分で求められる関数は「微分係数」といって、見た目も分数で、分数のように扱われることもあるようなのですけれど、実は分数ではないそうです。基本的にひとかたまりの記号として扱われて「ディーワイ・ディーエックス」、「ディーワイ・バイ・ディーエックス」もしくは「ディーエックス分のディーワイ」と読むことになっているようです。