Canvas:《ピタゴラスの定理》の証明方法

◈ ピタゴラスの定理

学校教科書的証明方法の説明図

　ただただ作図しやすいという理由で図には、

⊿ （高さ：底辺：斜辺）＝ ( 3 : 4 : 5 )

の比率の、直角三角形を最初に例示しています。
 ＊ 四角形 FHCD は、正方形なのであります。

◇　正方形 AEGB を、斜めになった内側の正方形、
□　正方形 FHCD を、外側の正方形、とします。

■　オレンジ色で塗られた中央の正方形には、記号がつけられていませんので、証明方法の説明には、

・ 直角三角形 ABC　＝　△ABC
・ 直角三角形の（底辺）＝　a
・ 直角三角形の（高さ）＝　b
・ 直角三角形の（斜辺）＝　c

という、4 つの記号だけを使うことにします。

移動　：　高さ　b =　　　　
回転　：　底辺　a = 　30

　◆　まずオレンジ色で塗られた中央の正方形の面積の計算式は、次のようになります。

　　(a - b)²

　◆　オレンジで塗られた正方形の面積に、その周囲にある、△ABC の面積の 4 つ分を足せば、斜めになった内側の正方形の面積が、算出できます。
 ＊〝回転〟のボタンを押してみると、わかりやすいかもしれません。

　●　これは、次の式で表せます。

　　c² = 4 × (ab ÷ 2) + (a - b)²

∴　c² = 2ab + (a - b)²

⛞　この式、[ c2 = (a - b)2 + 2ab ] を整理してみましょう。

◈　c2　=　(a - b)2 + 2ab

∴　c2　=　(a2 - 2ab + b2 ) + 2ab
　　　　=　a2 - 2ab + b2 + 2ab　=　a2 + b2

∴　a2 + b2　=　c2

　びっくりポン ❕　なんと ❗
　いつの間にやら、かの〈ピタゴラス〉の定理が、出現しているではありませんか。

　◆　そしてさらに、斜めになった内側の正方形の面積に、またもや △ABC の面積の 4 倍を足すことで、外側の正方形の面積 [ (a + b)² ] と同じになって、次の方程式が成立します。

　　c² + 2ab = (a + b)²

∴　c² = (a + b)² - 2ab

⛞　この式、[ c2 = (a + b)2 - 2ab ] も整理してみましょう。

◈　c2　=　(a + b)2 - 2ab

∴　c2　=　(a2 + 2ab + b2 ) - 2ab
　　　　=　a2 + 2ab + b2 - 2ab　=　a2 + b2

∴　a2 + b2　=　c2

　◆　ちなみに、a = b となる特別な場合には、斜めになった内側の正方形の面積は直角三角形 4 つ分の面積と同じになりますので、次の計算式になります。

　　c2　=　4 × (ab ÷ 2)　=　2ab

　　c2　=　2ab　=　ab + ab

　●　条件より、a = b なので、⇒　[ ab + ab　=　aa + bb ]

∴　c2　=　a2 + b2

⛞　最後に念のため、（高さ：底辺：斜辺）＝ ( 3 : 4 : 5 ) の直角三角形を使って、実際の数値で計算してみます。

　　(4 - 3) × (4 - 3)　=　1
　　(4 × 3) × 2　=　24
　　5 × 5　=　25　=　24 + 1
　　(3 + 4) × (3 + 4)　=　7 × 7　=　49
　　49 - 25　=　24