円の方程式と直線の方程式

　《円の方程式》は、二次方程式になります〔 ※ 円周上の点の x, y 座標の値〕。

◎　中心座標を原点 (0, 0) とする、半径 r の円の場合

　　　x*x + y*y = r*r

◎　中心座標を点 (a, b) とする、半径 r の円の場合

　　　(x - a)*(x - a) + (y - b)*(y - b) = r*r


　《直線の方程式》は、一次方程式でした。

　　　ax + by + c = 0

☒　直線の交差点を、交点といいます。原点とは異なる座標 (x, y) で交差する直線の場合には、異なる傾きのふたつの直線が交わる座標の位置（解＝答え）は、二元一次連立方程式で解くことができました。

　　　ax + by + c = 0　　　 ［直線 l ］

　　　a´x + b´y + c´ = 0　　［直線 l´ ］

の、両方が成り立つ x, y の値を求めればよいのでした。

●　たとえば直線の定数をそれぞれ、
a = 1,　b = 2,　c = 3,　a´ = 4,　b´ = 5,　c´ = 6　としたとき、

　　　1 × x + 2 × y + 3 = 0　　　［直線 l ］

　　　4 × x + 5 × y + 6 = 0　　　［直線 l´ ］

となるので、［直線 l ］の式の両辺に 4 を掛けると、

　　　4 × x + 8 × y + 12 = 0

となり、上の式も下の式も、同じ 0 の値であるから、

　　　4x + 8y + 12 = 4x + 5y + 6

という式が成立することになります。

●　ここで、両辺から 4x を引いて、

　　　8y + 12 = 5y + 6

　　　8y - 5y = 6 - 12
　∴　3y = - 6

　∴　y = - 2

●　［直線 l ］の式に、y = - 2 を代入して、

　　　x + 2 × (-2) + 3 = 0

　　　x - 4 + 3 = 0
　∴　x = 4 - 3

　∴　x = 1



⛞　《直線の方程式》と《円の方程式》から求める交点の解は、二元二次連立方程式になります。

✥　複雑さを減らした最初の理解として、《円の方程式》には、原点を中心とする例を用いることにします。

●　たとえば、計算しやすい例として、x = 3,　y = 4,　r = 5　としたとき、

　　　3*3 + 4*4 = 5*5　　 　　［ 9 + 16 = 25 ］

という式が成立するのですけれど、ここでは、x*x + y*y = 5*5　の方程式を、上の図に示しておきました。

●　これに、―― 同じく図に示されている直線のうち ――［直線 l ］の方程式では、

　　　x + 2y + 3 = 0　⇒　2y = -x - 3

　∴　y = -0.5x - 1.5

となる、y の値を代入します。最終の計算まで割り切れるので、簡単に書ける、小数を使った表示にしておきました。

　　　x*x + ( -0.5x - 1.5)*( -0.5x - 1.5) = 5*5

◈　図を参照しつつ、解の近似値を、計算して求めてみると、

　　　(x + 4.9)*(x - 3.7) = 0.07

　∴　x ≒ -4.9 ,　x ≒ 3.7　　　［直線 l と、円との交点］

となります。この x の値から y の値を計算する方法は、これまで通りなので、省略します。


―― 前回と前々回分を合わせて、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、以下のサイトで公開しています。

JavaScript : Canvas に図形を描く基本事項
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/circle.html