放物線と《光の入射角・反射角》

 ◯ 最初に円錐曲線の定義などについて、前回までの説明で不足している部分を補いつつ、整理しておきましょう。

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 ✥　放物線 (parabola) の定義

⛞　放物線とは「定点 F とそれを通らない定直線 l から等距離にある点 P の軌跡」をいう

⛞　定点 F を「焦点」といい、定直線 l を「準線」という

 ✥　楕円 (ellipse) の定義

⛞　楕円とは「 2 定点 F, F´ からの距離の和が一定である点 P の軌跡」をいう

⛞　楕円上の点 P と焦点 F もしくは F´ からの距離の比が一定である定直線を準線という

⛞　ただしこの一定の比率 e は 0 より大きく 1 よりも小さくなる

 ✥　双曲線 (hyperbola) の定義

⛞　双曲線とは「 2 定点 F, F´ からの距離の差が一定である点 P の軌跡」をいう

⛞　ただし 2 定点 F, F´ からの距離の差は 0 より大きく FF´ よりも小さくなる

⛞　双曲線上の点 P と焦点 F もしくは F´ からの距離の比が一定である定直線を準線という

⛞　ただしこの一定の比率 e は 1 よりも大きくなる

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 ⛞　放物線の離心率

　放物線では、点 P から準線 l に下（おろ）した垂線の足を Q として、PF : PQ は、常に同じ値 ( 1 : 1 ) となることが条件になっていました。
◈　離心率というのは、この一定の比率を e で表したものです。

 ⛞　楕円の離心率

　楕円でも、点 P から準線 l に下した垂線の足を Q として、
　e = PF : PQ が一定の値 ( c : a ) となります。

 ⛞　双曲線の離心率

　双曲線でも同様に、点 P から準線 l に下した垂線の足を Q として、e = PF : PQ が一定の値 ( c : a ) となります。

 ⛞　円錐曲線と円の離心率

▣　e = PF ∕ PQ ( = PF : PQ ) の比率は、円錐曲線のそれぞれ（楕円・放物線・双曲線）で、一定の比率として用いられます。

▣　円は、楕円の焦点が 1 つに重なった特別な場合として、
　　e = 0 と考えることができます。

　まとめると、

▸　円 (circle) の離心率	⇒　　e  =  0
▸　楕円 (ellipse) の離心率	⇒　　0  <  e  <  1
▸　放物線 (parabola) の離心率	⇒　　e  =  1
▸　双曲線 (hyperbola) の離心率	⇒　　e  >  1

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 ◯ ここで、円錐曲線について、資料を参照しておきます。

『算数・数学活用事典』〔武藤徹・三浦基弘／著〕

 5 章　幾何の発展

2.　円錐曲線

　(p.92)

　エウクレイデスにも、『円錐曲線論』（ 8 巻）があったようですが、失われています。メナイクモス、アリスタイオスの業績を集大成したものであったと考えられています。
　アポロニオス（ Apollonios、前 262 頃～前 200 頃）は『円錐曲線論』（ 8 巻）を著しましたが、初めの 4 巻はギリシャ語で、はじめの 7 巻はアラビア語で、残っています。第 8 巻は、失われました。
　アポロニオスの円錐面は、円を含む平面外の 1 点と、円周上の 1 点を結ぶ線分を両側に延長した直線の描く曲面です。斜円錐を含みます。
　1 つの円錐面を平面で切るとき、切り方によって、切り口の曲線が、現代の記号で、

y2　=　ax － bx2

y2　=　ax

y2　=　ax ＋ bx2

と表されることを発見し、それぞれ、

エレイプシス ( ελ-λειψις )

パラボレー ( παρα-βολη )

ヒューペルボレー ( υπερ-βολη )

と名付けました。不足、釣合、過剰という意味で、楕円、放物線、双曲線と訳されています。
　第 1 巻で接線、法線が、第 3 巻で焦点が、扱われています。放物線を回転させて作った凹面鏡は、オリンピックの聖火の採火に用いられています。これは、鏡面に差し込んだ平行光線が 1 点に集まることを利用しています。この点を焦点 (focus) と名付けたのは、ケプラーです。

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◎　焦点から放物線に向けて放たれた光は、x 軸と平行な方向に反射します。

►　条件として、放物線の焦点を点 F ( c , 0 ) 、

軌跡を描く点を点 P ( px , py ) 、
準線の方程式を［ x = － c ］とします。

▣　作図例の数値の変更による計算で確認しましょう。

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◈　a = c とする放物線で、次の方程式が成り立ちました。

x　=	1	y 2
	4 a

◈　光の入射角と反射角を求めるために、接線を引きます。
　 　接線の方程式は次の通り。

x　=	py	y － px
	2 a

◎　放物線の接線と x 軸との交点を T とするとき、

 PF　=　PQ

 TF　=　PQ

∴　 TF　=　PF

が成り立って、三角形 FPT は二等辺三角形となります。

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∠ FTP　=　Arctan	py
	2 px

=　NaN (rad)　=　NaN °

∠ FPS　=　∠ PFT　=　π － Arctan	py
	px － c

=　NaN (rad)　=　NaN °

∴　 ∠ FPT　=　π － ∠ FTP － ∠ PFT

=　NaN (rad)　=　NaN °

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 c 　 = 　

py　 = 　

px　 = 　

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【放物線の反射角の検算のために】

▣　放物線の接線の方程式に、y = 0 を代入して、
　　x 軸上の点 T ( t , 0) の座標の値 t を求めます。

x　=	py	y － px　　　　∴　 t　 = 　－ px
	2 a

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　例のごとく、今回の JavaScript のスクリプトも、このページ内に同梱してあります。

双曲線と楕円の焦点・準線

 ✥　双曲線 (hyperbola) の定義

⛞　双曲線とは「 2 定点 F, F´ からの距離の差が一定である点 P の軌跡」をいう

⛞　ただし 2 定点 F, F´ からの距離の差は 0 より大きく FF´ よりも小さくなる

⛞　2 定点 F, F´ を「焦点」という

⛞　焦点 F, F´ を通る直線を「主軸」といい、主軸と双曲線との交点を「頂点」という

⛞　線分 FF´ の中点を「中心」という

◈　双曲線の方程式の標準形は、

2 定点 F ( c , 0 ) ,　F´ (－ c , 0 ) を焦点として、
焦点からの距離の差が 2 a のときに、

c > a > 0 とする、双曲線の方程式

x 2	－	y 2	=　1　　( b　=　√ c 2 － a 2  )
a 2		b 2

　によって、表されます。

◈　焦点が F ( 0 ,  c ) ,　F´ ( 0 , － c ) のときは、

焦点からの距離の差を 2 b として、
c > b > 0 である、双曲線の方程式が

x 2	－	y 2	=　－ 1　　( a　=　√ c 2 － b 2  )
a 2		b 2

　と、表されます。

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◈　c の値が x 座標になる場合と、y 座標になる場合の、
それぞれの双曲線の作図を試みます。
（ただし、焦点からの距離の差を 2 c の 倍とする）

　　　　c の値が x 座標　 || 　　c の値が y 座標

●　 2　=　 2 － 2

 c　=　

 　=　

 　=　

=　

　焦点からの距離の和 =  2 c ×

▣　上の座標を指定します。

　=　

　=　

=　

●　 2 　 = 　

●　 PF　 ≒ 　

●　 PF´　≒ 　

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 ✥　楕円 (ellipse) の定義

⛞　楕円とは「 2 定点 F, F´ からの距離の和が一定である点 P の軌跡」をいう

⛞　2 定点 F, F´ を「焦点」という

⛞　線分 FF´ の中点を「中心」という

⛞　焦点 F, F´ を通る直線 l と楕円との交点及び中心を通り l に垂直な直線と楕円との交点を「頂点」という

◈　高校数学の参考書などでは、向かい合う頂点を結んでできる線分の、長いほうを「楕円の長軸」といい、短いほうを「楕円の短軸」という、と書かれています。

●　通常、基本的には向かい合う頂点を通る 2 本の直線が、楕円の対称軸となります。

◎　またいっぽうで手元にある数学用語辞典には、楕円の対称軸の長いほうを「長軸」といい、短いほうを「短軸」という、と記述されています。

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 ※ 数学において「軸」は基本的に直線だったはずですが、「楕円の対称軸」だと線分もあるようです。

 ◎ たとえば、楕円の対称軸の長いほうを「長軸」といい、短いほうを「短軸」という、と定めるなら「楕円の対称軸の長いほう」という表現においては、「長さの計測可能な対称軸」について語られていますので、「楕円の対称軸」は直線ではなく線分である、という前提が、必要となります。

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◈　楕円の方程式の標準形は、

2 定点 F ( c , 0 ) ,　F´ (－ c , 0 ) を焦点として、
焦点からの距離の和が 2 a のときに、

a > c > 0 かつ a > b > 0 である、楕円の方程式

x 2	＋	y 2	=　1　　( b　=　√ a 2 － c 2  )
a 2		b 2

　によって、表されます。

◈　焦点が F ( 0 ,  c ) ,　F´ ( 0 , － c ) のときは、

焦点からの距離の和を 2 b として、
b > c > 0 かつ b > a > 0 である、楕円の方程式が

x 2	＋	y 2	=　1　　( a　=　√ b 2 － c 2  )
a 2		b 2

　と、表されます。

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　いつものごとく、今回の JavaScript のスクリプトも、このページ内に同梱してあります。

放物線の焦点・準線

 ◯ 放物線は、円錐曲線と呼ばれる図形の 1 つです。円錐曲線には、放物線のほかに、楕円・双曲線があります。

 ✥　放物線 (parabola) の定義

⛞　放物線とは「定点 F とそれを通らない定直線 l から等距離にある点 P の軌跡」をいう

⛞　定点 F を「焦点」といい、定直線 l を「準線」という

⛞　焦点 F から準線 l に下した垂線を、曲線の「軸」という

つまり放物線とは、

｢焦点と呼ばれる点からの距離と、準線と呼ばれる直線からの距離が、等しい点の軌跡｣

と、定義されます。

焦点を通って準線に直交する直線が、「放物線の軸」となります。
また放物線の軸と放物線との交点を「放物線の頂点」といいます。

◈　ここで、点 P から準線 l に下した垂線の足を Q として、準線の方程式が y 軸に平行、もしくは x 軸に平行となる、放物線の作図を試みます（放物線と焦点との距離 PF はピタゴラスの定理で算出します）。

　⛞　放物線の焦点・準線の位置関係の作図

▣　準線の向きを指定します。

　　　y　=　－ a　　　⇒　F ( 0 ,  a )
　　　x　=　－ a　　　⇒　F ( a , 0 )

▣　放物線を変更するための変数は 1 つにしておきます。

●　 a　=　

▣　放物線の x 座標、もしくはy 座標を指定します。

　=　

　=　

 　 =　

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▣　準線の方程式が、

y　=　－ a

のとき、F ( 0 ,  a ) ならば、

PF　=　√ x 2 ＋ ( y － a ) 2 

PQ　=　y ＋ a

であることから、PF = PQ より、以下のことが成り立ちます。

y ＋ a　=　√ x 2 ＋ ( y － a ) 2 

∴　 ( y ＋ a ) 2　=　x 2 ＋ ( y － a ) 2

⇒  y 2 ＋ 2 a y ＋ a 2　=　x 2 ＋ y 2 － 2 a y ＋ a 2

⇒  4 a y　=　x 2

∴　 y　=	1	x 2
	4 a

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▣　準線の方程式が、

x　=　－ a

のとき、F ( a , 0 ) ならば、

PF　=　√ y 2 ＋ ( x － a ) 2 

PQ　=　x ＋ a

であることから、PF = PQ より、以下のことが成り立ちます。

x ＋ a　=　√ y 2 ＋ ( x － a ) 2 

∴　 ( x ＋ a ) 2　=　y 2 ＋ ( x － a ) 2

⇒  x 2 ＋ 2 a x ＋ a 2　=　y 2 ＋ x 2 － 2 a x ＋ a 2

⇒  4 a x　=　y 2

∴　 x　=	1	y 2
	4 a

テオドロスの螺旋と対数螺旋

 ◯ 《テオドロスの螺旋》と名づけられた幾何学図形について、次の資料で詳しく語られていました。各種資料を参照しつつ、ひとつ作図を試みました。

  ✥　テオドロスの螺旋

『無理数の話』

　〔ジュリアン・ハヴィル／著〕

付録 A　テオドロスのらせん

　(p.347)

まず、このらせんの別名が Quadratwurzelschnecke〔平方根カタツムリ〕だということを知るとうれしいかもしれない。これは 1980 年、オーストリアの数学者で、このらせんのいくつかの性質を調べた、故エドムント・フラウカが考えた名だ。

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 ◎　上の文章に続いて、テオドロスの螺旋の ―― 作図のための ―― 座標計算は「三角形の直角でない頂点の座標を表す式を求めてみる。そのためには複素数を用いると便利だ。」と語られています。

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　(pp.347-348)

　頂点 z₁ = 1 + i から始め、複素数の加法によって、z _n から z _n+1 を作る。

z _n+1　=　z _n + 「 z _n に対して直角で長さ 1 の複素数」

複素数に i を掛けるのは、その複素数を反時計回りに 90° 回転させることで、複素数をその長さで割れば、結果として得られる複素数の長さは 1 となる。そこでこのらせんは、

z₁　=　1 + i,

z n+1　=　z n +	z n	i,　　n　=　1, 2, 3, . . .
	| z n |

として表せる。

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 ◎　この引用文は計算式のほんの始まりの部分です。
　かなり難しい計算過程を経た後に
「テオドロスのらせんは、漸近的にアルキメデスのらせんに近づいていく。」(p.352) と、述べられています。
〔引用文： 終わり〕

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 ◈　下のテオドロスの螺旋図は、極座標 ( r ,  θ ) を用いた計算法による作図です。

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 　　アルキメデスの螺旋を描かない

 　　アルキメデスの螺旋を描線する

 　　対数螺旋（ガウス平面）に変更

 　off　対数螺旋をなめらかに描線する

　⛞　アルキメデスの螺旋の係数　　( r  =  a + b θ  )

 　　　▣ 　 a　=　　　　　　▣ 　 b　=　

　⛞　ガウス平面の対数螺旋

 　　▣　1 回転して、c 倍になる　　　▣ 　 c　=　

 　　　　 ◈　回転数を変更する　　　　回転数 ：　

―― 例により、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、計算方法の紹介などとともに、以下のサイトで公開しています。

JavaScript : 自然対数 & 対数螺旋
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/spiral.html

ガウス平面の座標・複素数の演算

  ✥　虚数単位  i

　数学では、

▣　 i 2　=　－ 1

∴　 i　=　√ －1 

という数をイメージして、この i を虚数単位といいます。

　さらに実数 a, b を用いて、

a ＋ b i

の形式で表現される数を複素数といい、特に、b ≠ 0 である場合には、虚数と呼ばれます。

　◎　a ＋ b i の複素数で、a = 0 の場合には純虚数と呼ばれ、b = 0 である場合に、実数となります。

a ＋ b i　を複素数という。
b ≠ 0　の場合、虚数という。
b i　だけの場合、純虚数。(a = 0)
a　のみで、実数となる。(b = 0)

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　ここで、基本の計算式で使われる用語の確認をしておきましょう。
　加え算（くわえざん）である足し算を「加算（かさん）」といい、引き算を「減算（げんざん）・減法」といって、掛け算を「乗算（じょうざん）・乗法」、割り算「除算（じょざん）・除法」といいます。
　そして、「加算（加え算）・減算（減法）・乗算（乗法）・除算（除法）」をまとめて「四則（しそく）」といい、または「加減乗除（かげんじょうじょ）」と呼びます。
　四則は、英語で “the four (fundamental) rules of arithmetic” となります。“fundamental” は、〝基本の・基礎の・根源の・根本的な〟という意味の英語で、“arithmetic” は〝算数・算術〟です。

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  ✥　ガウス平面

 　x 軸に実数を並べ、y 軸上に純虚数を並べた平面を、複素数平面（複素平面）といい、また、ガウス平面とも呼ばれます。

　⛞　複素数の和（差はマイナスの和）

【ガウス平面での足し算】
◈　実数 a, b, c, d 等と、虚数単位 i を組み合わせた計算式で、多くの場合に複素数は記号 z で表され、随時 w なども用いられます。

z　 =　a ＋ b i
w　=　c ＋ d i

●　ここで z と w を足した結果を z₁ とすれば、次の式となります。

z ＋ w　=　z₁　=　z ＋ c ＋ d i
( z₁　=　a ＋ c ＋ b i ＋ d i )

 ◈　複素数の和をガウス平面で表現すると、z₁ は z を実数（実軸）方向に c 、虚数（虚軸）方向に d の値だけ平行移動した値の座標を持つことになります。

a　=　　　　　b　=　

c　=　　　　　d　=　

　⛞　複素数の積・商 　

 　▣   純虚数の値　 = 　 i

（例）実数の 1 に同じ純虚数を繰り返し掛ける演算

◈　元の複素数の座標を z (1, 0) = 1 ＋ 0i とし、これに純虚数を演算した結果を、ガウス平面に描きます。
　その演算を 4 回繰り返すと、座標は 1 回転します。
　演算の 1 回ごとに、90 度の回転が加わるわけです。

 〔 ※ 商の計算値は “ ≒ ” で統一しました。〕

● 　－ i　=　1  ∕  i

　　（ ⇒　この計算の説明は演算式の下を参照のこと ）

　▣  演算 1 回目 ：
  z₁  =　1 × i　=　i

　▣  演算 2 回目 ：
  z₂  =　i × i　=　－ 1

　▣  演算 3 回目 ：
  z₃  =　－ 1 × i　=　－ i

　▣  演算 4 回目 ：
  z₄  =　－ i × i　=　1

 ●（説明文）  分数 [ 1  ∕  (2 i) ] は、分母と分子の両方に i を掛けると [ i  ∕  (2 i 2 )　=　－ i  ∕ 2 ] なので、

[ 1  ∕  (2 i) ]　=　[ － (1 ∕ 2) × i  ] と、なります。

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　例によって、今回の JavaScript のスクリプトは、このページ内に同梱してあります。

対数螺旋・黄金螺旋・アルキメデスの螺旋

　昨日、動作不良を起こしたスクリプトは、来週公開予定のサイトでは、通常に動作するはずのものなのですが、この環境においては実際に不具合が認められましたので、少々仕様を改めた修正バージョンで、本日再挑戦します。
　昨日にも書いたことですが、方程式を調べて、JavaScript を使い作図しました。

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　黄金螺旋がよく近似しているとされる対数螺旋 (logarithmic spiral) は、等角螺旋 (equiangular spiral) ともいわれ、また、自然曲線とも生命の曲線とも呼ばれます。

 ◯　佐藤修一氏の『自然にひそむ数学』からポイントとなる解説を参照して、独自に、数値の操作可能な作図を試みます。

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ブルーバックス B-1201　〔1998年01月20日　講談社／発行〕

『自然にひそむ数学』 〔佐藤修一／著〕

Ⅺ　自然の中のうず巻きとフィボナッチ数

　(p.226)

　アルキメデスのらせんは、「回転角 θ に比例して動径 r が増加する曲線」ですから、このらせん上の任意の点を P ( r , θ ) として極座標で表すと、a を定数として、

r = a θ

のようになります。

　(p.227)

　対数らせんでは、らせんの中心から引いた直線と接線がなす角度は半径とは関係なくつねに一定です。このことから、対数らせんは「等角らせん」とも言われます。

　(p.228)

　対数らせんは、違った部分を同じ角度だけ切り取ったとき、切り取られた 2 つの部分は大きさが違っても必ず相似形になるという不思議な性質をもっています。対数らせんのこの性質は「自己相似性」と言われます。

　(pp.229-230)

　ところで、対数らせんは、極方程式

r = a ^θ

を満たす曲線です。この曲線の極方程式は

r = a e ^kθ

のように表現しなおすことができ、さらにこの方程式は

log r = θ log k

あるいは

log r = a θ

のような形に表現しなおすこともできます。この式からも明らかなように、対数らせんは「回転角 θ が動径の長さ r の対数値に比例する曲線」と言いなおすことができます。

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⛞　対数螺旋・黄金螺旋・アルキメデスの螺旋

【対数螺旋】係数設定　　r　=　a  ( e ^{k θ} )

　a　=　　　k　=　　　係数値を初期化する

◎ 螺旋選択：

【アルキメデスの螺旋】極座標　( r , θ ) において

r　=　θ

【回転する対数螺旋】係数固定

a　=　2.5 * 8 px　=　20 px

k　=　0.15

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　今回の JavaScript のバージョンは、いつものようにこのページ内に同梱してあります。

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　【翌 5月 10日：追記】
　エラーの原因が判明したので、本来の仕様に戻して、修正完了。

黄金螺旋に近似する対数螺旋の係数

　前回（とはいえ、もはや先月のことですが）、《黄金螺旋》は、《対数螺旋》にうまく近似しているといわれています、と書きました。
　では、その対数螺旋とはどのように描かれるのでしょうか？
　方程式を調べ、JavaScript を使って実際に作図してみました。

―― が、動作不良が確認されましたので、作図例の紹介は、日を改めることといたします。