JavaScript: 球面座標の最短距離

◎ 実は、ユークリッド幾何学の定義では、直線と円を区分できないのではないかと、疑っているのです。

『ユークリッド原論』の邦訳を参照すると、その「第 1 巻」の最初の〈定義〉に、

1. 点とは部分をもたないものである。
2. 線とは幅のない長さである。
3. 線の端は点である。
4. 直線とはその上にある点について一様に横たわる線である。

などの、数学的な約束ごとが書かれています。
そこでいま一度、〈直線の定義〉であるところの、前提条件をよくよく考えてみると、その記述内容は必ずしも直線の方程式として、

　　ax + by + c = 0

と書かれた二元一次方程式の枠内にあるとは、限らないのではないか、ということなのです。このことについて、次のように書いたことがあります。

　✥ かくして「定義 4.」によって、ユークリッドの〈直線の定義〉は「直線とはその上にある点について一様に横たわる線である」と、いうことになるのですけれども、そこでは平面図形を考察の対象としているからでしょうか、曲率（曲線または曲面のまがりの程度）がゼロであることが示されていないため、あろうことか、〈円周〉についても「その上にある点について一様な曲がりかたで横たわる線である」と、同様の表現ができることになってしまいます。
―― となればならぬか、「その上にある点について一様に横たわる線」がそのまま、ただちに《無限の長さ》をもつことにはならなくなってしまうのですね。

 ◯ ここで手もとの辞書に記述されている内容を、再確認しておきましょう。

『広辞苑　第四版』

ちょくせん【直線】

①まっすぐのすじ。まっすぐな線。
②〔数〕終始同一方向をもつ線、二点間を最短距離で結ぶ線、n 次元空間内で助変数 t により座標が t の一次式 xi ＝ ai ＋ bi t (i ＝ 1, 2, …, n ) で与えられる点 (x1, x2, …, xn ) の軌跡、などと定義される概念。ユークリッド幾何学においては、点・平面とともに基礎的な対象物、無定義用語として扱う。

ちょくせんきょり【直線距離】

二点を結ぶ直線に沿う距離。幾何学上の最短距離。


　◈ 辞書の説明にあるように、直線が「二点間を最短距離で結ぶ線」だとして、その座標が〝球面座標〟である場合を、地球表面の 2 地点を例に考えてみましょう。
　たとえば飛行機が〝二点間を最短距離〟で飛ぼうとする際には、〝地球の中心と二点間を結ぶ線〟を想定して、その 2 つの線を含む平面で地球を半分に切った円を考えます。その円の円周をふたつに分けているふたつの地点を見て〝二点間の距離の短いほう〟が、〝二点間の最短距離〟になるので、その上空を飛べばいいわけです。

A　 °　　 || 　　 B　 °

［ ※ 上の図は球体ではなく、仮に、円を平面図形で表現していて、円周上の 2 点を A, B とします。円周の太線の部分を弧 AB といい、また線分 AB を弦 AB といいます。］
［ ※ 下の図の円は、弦 AB の長さを直径としています。参考として、弧 AB と同じものも描いています。］

◎ そしてこのとき〝二点間の最短距離〟を一部分として含む「二点間を最短距離で結ぶ線」のすべては、その円の円周上の点の集合となりますので、さてこそとばかりにいくら、無限に伸ばそうとしてもいかんせん有限な長さとなってしまい、ようするに無限ではなくなるのです。


―― 前回分も合わせて、各種資料を参照・引用したページを、以下のサイトで公開しています。
 ※ コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載しています。

JavaScript ／ 直線の傾きとベクトル方程式
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/vector.html