楕円の周長を求める積分の近似値

　結局のところここまで調べてみたあげく、楕円の弧の長さ（弧長）は積分で表せても、初等関数では計算できないことが知られていました。
　初等関数とは、「代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数、およびこれらの関数の有限回の合成で得られる、実数または複素数変数の関数」をいうと『岩波数学辞典』に説明されています。
　なお、楕円の周長の近似値計算式が、『高等数学公式便覧』(p.24, p.120) に紹介されていましたので、全周の長さのおおよそはそれで計算できます。

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　⛞　楕円の弧の長さは初等関数では計算できない

  ►　つまり楕円では、円周を求めたときのようには不定積分を求められないので、関数 F ´(x) を満たす原始関数 F (x) が初等関数で表せないために、簡単には計算できないのです。

　⛞　ルート記号の計算について

 ✐　まずは蛇足ながら、根号 (radical sign) についての規則を確認しておきましょう。
▣　平方根 (square root) を示す記号 √ を使って、√ a と表して、ルート a と読み、この値は a が素数のときには無理数となります。また、a, b が正の数のときには、次の 3 つの式が成り立ちます。

√ a √ b 　=　√ ab 

√ a	=	√	a
√ b			b

√ a 2 b 　=　a √ b 

　⛞　楕円の周長を求める楕円積分

 ✐　積分計算の前に、離心率 e の値などについて、再確認しておきます。
  ►　標準的な楕円の方程式は

x 2	＋	y 2	=　1　　( c 2　=　a 2 － b 2 )
a 2		b 2

なので、

e　=	c	=	√ a 2 － b 2
	a		a

であり、さらに、

●　 y 2　=　b 2 (1 － x 2 ∕ a 2 )

　 =　b 2 ( a 2 ∕ a 2 － x 2 ∕ a 2 )　=　b 2 ∕ a 2 ( a 2 － x 2 )

y　=	b	√ a 2 － x 2
	a

∴　 a 2 y　=	a 2 b	√ a 2 － x 2 　=　ab √ a 2 － x 2
	a

が導かれます。次に、楕円の方程式の両辺を x で微分して、導関数の値を計算します。

2 x	＋	2 y	∙	dy	=　0
a 2		b 2		dx

⇒	2 y	∙	dy	=　－	2 x
	b 2		dx		a 2

⇒	dy	=　－	2 x	∙	b 2	=　－	b 2 x
	dx		a 2		2 y		a 2 y

y´　=	dy	=　－	b 2 x
	dx		ab √ a 2 － x 2

	=　－	b	∙	x
		a		√ a 2 － x 2

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 ✐　この導関数を前回確認した公式に代入して、演算を試みます。

L　=　4	∫	a	√ 1 ＋ ( f ´(x)) 2  dx
		0

	=　4	∫	a	√	a 2 － e 2 x 2	dx
			0		a 2 － x 2

　【 平方根号 √ の中の計算式 】

1 ＋ ( f ´(x)) 2　=　1 ＋	b 2	∙	x 2
	a 2		a 2 － x 2

=	a 2 ( a 2 － x 2 ) ＋ b 2 x 2	=	a 4 － a 2 x 2 ＋ b 2 x 2
	a 2 ( a 2 － x 2 )		a 2 ( a 2 － x 2 )

=	a 4 － x 2 ( a 2 － b 2 )	=	a 4 － a 2 x 2 ( a 2 － b 2 )  ∕  a 2
	a 2 ( a 2 － x 2 )		a 2 ( a 2 － x 2 )

=	a 4 － a 2 x 2 e 2	=	a 2 ( a 2 － e 2 x 2 )	=	a 2 － e 2 x 2
	a 2 ( a 2 － x 2 )		a 2 ( a 2 － x 2 )		a 2 － x 2

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  ►　ここで、x = at とおくと、dx = adt となり、
　また、dt での上端は、a ∕ a = 1 に変更されます。

L　=　4		a			dx
	∫		√	a 2 － e 2 x 2
		0		a 2 － x 2

	=　4		a			d (at)
		∫		√	a 2 － e 2 (at) 2
			0		a 2 － (at) 2

	=　4		1	a			dt
		∫			√	a 2 (1 － e 2 t 2 )
			0			a 2 (1 － t 2 )

	=　4a		1			dt
		∫		√	1 － e 2 t 2
			0		1 － t 2

	=　4a		1			dt
		∫		√	(1 － e 2 t 2 ) 2
			0		(1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 )

	=　4a		1		dt
		∫		(1 － e 2 t 2 )
			0	√ (1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 )

	=　4a		1	(1 － e 2 t 2 )		dt
		∫			1
			0		√ (1 － t 2 ) (1 － e 2 t 2 )

　▣　平方根号の中に 3 次式、4 次式の入っている式の積分を楕円積分といって、値は u で表されます。

u　=		x
	∫		dt
		0	√ (1 － t 2 ) (1 － k 2 t 2 )

　⛞　楕円積分の別解

 ✐　円では、y ≧ 0 となる半円の長さを計算し、2 倍しました。

　▣　 sin π　=　0

　▣　 cos π　=　－ 1

L 　=　2		π	√ (－r sinθ ) 2 ＋ ( r cosθ ) 2  dθ
	∫
		0

	=　2		π	r dθ
		∫
			0

	=　2 [ r θ ]	π	= 　2 ( r π － 0)　 = 　2 πr
		0

 ✐　楕円でも同様に、y ≧ 0 となる、周長の半分の長さを計算して、2 倍してみます。

　▣　 x　=　a cosθ

　▣　 y　=　b sinθ

　▣　 sin2θ ＋ cos2θ　=　1

L 　=　2		π	√ (－a sinθ ) 2 ＋ ( b cosθ ) 2  dθ
	∫
		0

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(－a sinθ ) 2 ＋ ( b cosθ ) 2　=　a 2 sin2θ ＋ b 2 cos2θ
 =　a 2 (1 － cos2θ ) ＋ b 2 cos2θ　=　a 2 － a 2 cos2θ ＋ b 2 cos2θ
 =　a 2 － ( a 2 － b 2 ) cos2θ　=　a 2 － a 2 cos2θ ( a 2 － b 2 )  ∕  a 2
 =　a 2 － a 2 e 2 cos2θ　=　a 2 (1 － e 2 cos2θ )

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L 　=　2		π	√ a 2 (1 － e 2 cos2θ )  dθ
	∫
		0

	=　2 a		π	√ 1 － e 2 cos2θ  dθ
		∫
			0

	=　4 a		π/2	√ 1 － e 2 cos2θ  dθ
		∫
			0

	=　4								dx
		∫	a		1 ＋ (	dy	)	2
				√
			0			dx

	=　4					dx
		∫	a	√ (dx) 2 ＋ (dy) 2
			0	dx

◈　たとえば、e = 0 のとき、

L 　=　2a		π	√ 1 － e 2 cos2θ  dθ
	∫
		0

の計算式では、次のように

L 　=　2a		π	√ 1  dθ　=　2a		π	dθ　=　2aπ
	∫			∫
		0			0

と計算可能で、これは半径 a の円周の長さとなります。

　⛞　楕円積分の公式・楕円の周長と近似式

 ◯ 次に参照する資料で例示されるように、標準の楕円積分では、離心率 e ではなく、k が使われます。

『高等数学公式便覧』

　河村哲也／監訳・井元薫／訳
〔2013年06月15日　朝倉書店／発行〕

　(p.120)

8.5　楕円積分

　　　楕円積分第 1 種

F (k, φ)　 =		φ	dψ
	∫
		0	√ 1 － k 2 sin2 ψ

	=		sinφ	dt
		∫
			0	√ 1 － t 2  √ 1 － k 2 t 2

　　　楕円積分第 2 種

E (k, φ)　 =		φ	√ 1 － k 2 sin2 ψ  dψ
	∫
		0

			sinφ			dt
	=			√	1 － k 2 t 2
		∫
			0		1 － t 2

　　　楕円積分第 3 種

Π (h, k, φ)　 =		φ	dψ
	∫
		0	(1 ＋ h sin2 ψ) √ 1 － k 2 sin2 ψ

例：楕円周（ k ＝楕円の離心率のときの楕円積分第 2 種）：

　離心率 k = sin α = √ a2 － b2   ∕ a（ = ε 、24 ページを見よ）のときの

楕円	x 2	＋	y 2	=　1
	a 2		b 2

は周長 　U　 =　 4 a		π ∕ 2	√ 1 － k 2 sin2 ψ  dψ
	∫
		0

	=　4aE (k ,	π	)　　を持つ。
		2

　(p.24)

 楕円

周囲の長さ　 U　 ≈ 　π ( 3	a ＋ b	－ √ ab  ) ,
	2

U  =  4a		π/2	√ 1 － ε 2 sin2 t  dt  =  4aE ( ε ,	π	)
	∫
		0		2

　⛞　楕円の周長計算

　楕円の周長の具体的な計算は、『高等数学公式便覧』(p.120) に簡潔に記述されていますので、改行を多用して、その部分も引用しておきましょう。

楕円	x 2	＋	y 2	=	x 2	＋ y 2　=　1
	2 2		1 2		4

　　に、対して特に

●　 a  =  2

●　 b  =  1

●　 k  =  e  =  √ a 2 － b 2 ∕ a

	=  sinα  =	√ 3
		2

●　 α  =  60 °

●　 k 2  =  3 ∕ 4

U　 =　 8		π ∕ 2	√ 1 － (3 ∕ 4) sin2 ψ  dψ
	∫
		0

= 　8E ( √ 3 ∕ 2 , π ∕ 2 )　 = 　8E ( sin60° , 90° )

●　 U　 = 　8 ∙ 1.2111　 = 　9.6888

U　 ≈ 　π ( 3	a ＋ b	－ √ ab  )
	2

	= 　π ( 3	2 ＋ 1	－ √ 2  )
		2

●　 U　 ≈ 　9.6943

 と、計算がなされています。

✥　ここまで見てきた曲線の長さ（弧長）の方程式では、楕円の一部を取り出した《楕円の弧長》の計算は難しいけれども、その全周である《楕円の周長》の近似値ならば、比較的容易に計算できることがわかりました。

　近似値計算の結果とともに、図示しておきましょう。

a　=　　　b　=　　　　U　≈　

　⛞　楕円の面積を微分してみる

 ✐　最後に試行として、楕円の面積を微分してみます。

◎　楕円の面積を √ ab  で微分します。

S　=　ab π　　において、

T　=　t 2 π　　へ変換するために、

t　=　√ ab 　　と、おけば

T ´　=　2 t π　=　2 √ ab  π　 = 　

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　今回も同様に JavaScript によるプログラムを、このページ内に同梱しています。
―― また楕円の方程式と積分の図などについて、コピペしてそのまま使える、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、計算方法の紹介などとともに、以下のサイトで公開しています。

JavaScript : 円と楕円の弧の方程式
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/arcus/ellipse.html