曲線の弧の長さを計算する積分

　曲線の弧の長さは〈弧長〉と呼称されるようです。
　この長さを求めるための積分の方程式があります。
　このたびは、可能な範囲で、その計算式について確認しておきましょう。

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◯　a ≦ x ≦ b もしくは a < x < b を満たす x の集合について

数直線上の線分で表される範囲で、
両端の点を含むものを
　閉区間 (closed interval) といって [ a, b ] で表し、
両端の点を含まないものを
　開区間 (open interval) といって ( a, b ) で表します。

◎　曲線 y = f (x) の長さは微小区間 [ x, x+dx ] に挟まれた曲線の長さの総和と考えられます。

L　=								dx
	∫	b		1 ＋ (	dy	)	2
			√
		a			dx

=		b	√ 1 ＋ ( f ´(x)) 2  dx
	∫
		a

【証明】
　上の図において、まず曲線 AB の長さ s は、[ a, b ] が非常に短い区間 (interval) であるなら、線分 AB の長さによって近似されると考えられます。

s　≒　AB　=　√ (⊿x) 2 ＋ (⊿y) 2 

　そうして曲線全体は、非常に短い線分を次々に結んだ折れ線の長さで近似できると、考えられるのです。
　曲線の長さは、そのような折れ線の長さの極限と考えられます。
　いま求めようとする曲線の長さ s を、折れ線の長さの極限で計算すると、次のようになります。

●　 ds　=　√ (dx) 2 ＋ (dy) 2 

　この計算式を、積分できる式にするため、dx をルート記号の外に出します。

ds　=　√ (dx) 2 ＋ (dy) 2 

  =　√ (dx) 2 {1 ＋ (dy) 2 ∕ (dx) 2 } 

=						dx　=　√ 1 ＋ ( f ´(x)) 2  dx
		1 ＋ (	dy	)	2
	√
			dx

　したがって、曲線 y = f (x) (a ≦ x ≦ b) の長さ s は、次の式で求められます。

s 　=		b	√ 1 ＋ ( f ´(x)) 2  dx
	∫
		a

　▣　同様の手順で、s を L に変更すれば次の式が成り立ちます。

L 　=		b	√ 1 ＋ ( f ´(x)) 2  dx
	∫
		a

 ✐　区間 [ a, b ] を積分区間といい、また下端 a と上端 b の大小関係は

a < b ,　　a = b ,　　a > b

　の、いずれでもよいことになっています。

　⛞　媒介変数表示された関数の曲線の長さの公式

▶　媒介変数表示の曲線［ x = f (t) ,　y = g (t)　(a ≦ t ≦ b) ］の長さ L は、次の式で求められます。

L　=　∫	b	√	(	dx	)	2	＋(	dy	)	2	dt
	a			dt				dt

	=　∫	b	√ ( f ´(t)) 2 ＋ ( g´(t)) 2  dt
		a

【公式の検証方法】
　媒介変数 t の変化量を ⊿t として、その間の、曲線の平均変化量は次のように求められました。

⊿x	=	f (t ＋ ⊿t) －f (t)
⊿t		⊿t

⊿y	=	g (t ＋ ⊿t) －f (t)
⊿t		⊿t

　◈　考え方として、この曲線の変化量は次のように計算されるのでした。

▶　 ⊿x　=　f (t ＋ ⊿t) －f (t)

▶　 ⊿y　=　g (t ＋ ⊿t) －g (t)

　この変化量がわずかであるなら、その間の曲線の長さ ⊿s は、次のように近似されると考えられます。

⊿s　≒　√ (⊿x) 2 ＋ (⊿y) 2 

　 　 =　√ (⊿t) 2 { (⊿x) 2 ∕ (⊿t) 2 ＋ (⊿y) 2 ∕ (⊿t) 2 } 

⊿s　≒	√	(	⊿x	)	2	＋(	⊿y	)	2	⊿t
			⊿t				⊿t

　◈　そして極限の値 ds が、曲線の長さの増分として考えられるのです。

dx	=　f ´(t)
dt

dy	=　g´(t)
dt

なので、

●　 dx　=　f ´(t) dt

●　 dy　=　g´(t) dt

であるから、極限の値 ds の計算式は、次のようになります。

●　 ds　=　√ (dx) 2 ＋ (dy) 2 

　 　 　 =　√ { f ´(t) dt } 2 ＋ { g´(t) dt } 2 

　 　 　 =　√ { f ´(t) } 2 ＋ { g´(t) } 2  dt

　▣　この極限の値の総和が、曲線の長さと考えられるわけです。

L　=　∫	b	√	(	dx	)	2	＋ (	dy	)	2	dt
	a			dt				dt

	=　∫	b	√ ( f ´(t)) 2 ＋ ( g´(t)) 2  dt
		a

　⛞　円周の長さの計算

L 　=		b	√ ( f ´(t)) 2 ＋ ( g´(t)) 2  dt
	∫
		a

　　　　の公式を使って、計算します。

●　 x 2 ＋ y 2　=　r 2

　▣　 x　=　f ( θ )　=　r cosθ

　▣　 y　=　g ( θ )　=　r sinθ

　▣　 x´　=　( r cosθ )´　=　－r sinθ

　▣　 y´　=　( r sinθ )´　=　r cosθ

 ✐　y ≧ 0 となる、半円の長さを計算して、2 倍します。

　 ▣　 sin π　=　0

　 ▣　 cos π　=　－ 1

L 　=　2		π	√ (－r sinθ ) 2 ＋ ( r cosθ ) 2  dθ
	∫
		0

	=　2		π	r dθ
		∫
			0

	=　2 [ r θ ]	π	=　2 ( r π － 0)　=　2 πr
		0

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　今回も同様に JavaScript によるプログラムを、このページ内に同梱しています。