円と楕円の面積・積分の平均値の定理

　いよいよもって、楕円の面積を求めるにあたり、まず積分で円の面積を計算しておきます。
　その前に《積分の平均値の定理》について確認しておきましょう。

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　⛞　平均値の定理 (mean value theorem)

 ✐　 関数 f (x) が、a ≦ x ≦ b で連続、a < x < b で微分可能であるならば、

f (b) － f (a)	=　f ´(c)　 　( a < c < b )
b － a

　を満たす実数 c が、少なくともひとつは存在します。
　これを平均値の定理といいます。

◈　平均値の定理は、( a ,　f (a) ) ,　( b ,　f (b) ) を結ぶ弦に平行な接線が存在することを示しています。

下の図は、

f (x)　=	1	x 2
	10

のグラフです。接線の傾きは

f ´(x)　=	1	x
	5

なので、傾きの 5 倍の値が、 x の値となって、
その x の値が、 c の値になるわけです。

　a　=　　　b　=　　　c　=　

　⛞　積分の平均値の定理

►　f (x) の原始関数を F (x) とすれば、

F ´(b) － F ´(a)　=　( b － a ) f (c)

となり、

	b	f (x) dx　=　( b － a ) f (c)
∫
	a

となる c が、a ≦ x ≦ b の内部に少なくともひとつは存在するという定理になります。

f (x)　=	1	x 2
	10

として積分すると、

F (x)　=	1	x 3 ＋ C
	30

となるので、したがって、

	b	f (x) dx　=	1	b 3 －	1	a 3
∫
	a		30		30

=　( b － a )	1	c 2
	10

なので、

c 2　=	10	∙	b 3 － a 3
	b － a		30

∴　 c 2　=	b 3 － a 3
	3 ( b － a )

　⛞　置換積分法 (integration by substitution) で求める円の面積

 ✐　 置換積分法というのは、関数 f (x) を積分するのに、

▣　 x　=　g (t)

というように、新しい変数 t に関する積分に変形して計算する方法です。

【置換積分法の公式 : ただし x = g (t) 】

  ►　関数 f (x) を f ( g (t) ) と置き換えたとき、 dx は g ´(t) dt と置き換えらます。

∫		f (x) dx　=	∫	f ( g (t) ) g ´(t) dt

◎　これは合成関数の微分法、

d	f ( g (x) )　=　f ´( g (x) ) g ´(x)
dx

に対応するものです。

◈　さて、中心が原点 O (0, 0) で、半径が a の円の方程式は

x 2 ＋ y 2　=　a 2

と表され、この円周上の点 P (x, y) の座標は三角関数で、

x　=　a cos θ

y　=　a sin θ

となることをすでに見てきました。

この円の方程式をまず、y について解くと、

y　=　± √ a 2 － x 2 

となるのですが、第一象限では x と y の座標がともに 0 以上なので、

y　=　√ a 2 － x 2 

つまり f (x) ≧ 0 が成り立ち、そして x の値は、 0 ≦ x ≦ a の間で推移します。

 ⌨　第一象限の弧と x, y 軸で囲まれた面積を 4 倍すれば、全体の面積 S が算出されるわけです。

S　=　4		a	y dx　=　4		a	f (x) dx
	∫			∫
		0			0

=　4		a	√ a 2 － x 2  dx
	∫
		0

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◎　y  =  a sinθ です。
◎　x  =  a cosθ なので、この両辺を θ で微分すると、

dx	=  －a sinθ
dθ

となって、これを、

　 　dx　=　－a sinθ dθ

と考えます。したがって、

●　 y ∙ dx　=　a sinθ  ∙ (－a sinθ dθ )

　　　　　=　－a 2 sin 2 θ dθ

を、積分の方程式にあてはめて計算することになります。

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◎　x  =  0 のとき、θ  =  π ∕ 2 。
◎　x  =  a のとき、θ  =  0 。

S　=　4		a	y dx　=　4		0	－a 2 sin 2 θ dθ
	∫			∫
		0			π/2

=　4 a 2		π/2	sin 2 θ dθ
	∫
		0

　●　また、三角関数の半角の公式として

sin 2 θ　=	1 － cos 2θ
	2

cos 2 θ　=	1 ＋ cos 2θ
	2

tan 2 θ　=	1 － cos 2θ
	1 ＋ cos 2θ

が、知られています。

S　=　4 a 2		π/2	sin 2 θ dθ
	∫
		0

=　a 2		π/2	(2 － 2 ∙ cos 2θ ) dθ
	∫
		0

◎　微分して cos θ になるのは、sin θ 。
◎　sin π  =  0 。

S　=　a 2 [ 2θ － sin 2θ ]	π/2
	0

  　 =　a 2 { ( π － sin π ) － 0 }　=　π a 2

∴　 S　=　π a 2

　⛞　置換積分法で求める楕円の面積

x 2	＋	y 2	=　1
a 2		b 2

この方程式の両辺に a 2 b 2 を掛けて、y について解くと、

●　 b 2 x 2 ＋ a 2 y 2　=　a 2 b 2

●　 y 2　=　( a 2 b 2 － b 2 x 2 )  ∕  a 2

  　　　 =　b 2 ( a 2 － x 2 )  ∕  a 2

●　 y　=　±	b	√ a 2 － x 2
	a

なので、第一象限の面積を 4 倍する計算式は次の通り。

4		a	y dx　=　4		a	f (x) dx
	∫			∫
		0			0

=　4 ( b  ∕  a )		a	√ a 2 － x 2  dx
	∫
		0

 ⌨　このとき、

	a	√ a 2 － x 2  dx　=　π a 2  ∕  4
∫
	0

であるから、楕円の面積を S とすれば、

S　=	4 b	∙	π a 2	=　π ab
	a		4

∴　 S　=　π ab

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　今回も JavaScript によるプログラムを、このページ内に同梱しています。