〈フェルマーの原理〉の微分計算

「光の最短経路は距離ではなく時間で定まる」ということが、
〈フェルマーの原理〉の意味するところです。

◎　関数を微分した値は、接線の傾きとして用いられました。
光が媒質内で速さを変えても屈折しなければ、到達する時間が長くなるのは、少し計算すれば理解できますけれど、到達時間を最短にする、最適な屈折角は〈スネルの法則〉によることも、計算で確認できるのです。

　光の到達時間のグラフを描いて、その曲線の接線の傾きがゼロになる瞬間が、最短の時間になるわけで、まずは、その微分計算をクリアする手法が必要となります。

　この微分計算には、先に「双曲線と《光の入射角・反射角》」（2020年5月23日土曜日）で紹介した《合成関数の微分に関する定理》が用いられます。
　そして《分数乗の微分》の公式で、変数の平方根が含まれる関数を微分します。
　何はともあれ、《合成関数の微分に関する定理》の復習から、始めましょう。

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　⛞　合成関数の微分に関する定理

●　u  =  g (x) に関して、x の増分 Δx に対する u の増分を Δu とします。
●　y  =  f (u) に関して、u の増分 Δu に対する y の増分を Δy とします。
●　y  =  f (u)  =  f ( g (x) ) が成り立って、

dy	=	d	f ( g (x) )　=　f ´( g (x) ) g ´(x)
dx		dx

=　f ´(u) g ´(x)　=	dy	∙	du
	du		dx

　　という結果が、導かれます。

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　⛞　平方根は、2 分の 1 乗なので、分数乗の微分の公式を使います。

●　 √ u 　=　u ^{1 ∕ 2}

(√ u )´　=	1	(u - 1 ∕ 2 )　=	1	∙	1	=	1
	2		2		u 1 ∕ 2		2 √ u

◈　光が屈折する水面座標を点 R (x, 0) とします。
◈　光の速度は、空気中で V 、水中で v とします。

▸　空気中の点 P から水面の点 R までの距離

●　 PR　=　√ x 2 ＋ h 2 

▸　水面の点 R から水中の点 Q までの距離

●　 RQ　=　√ (w － x ) 2 ＋ y 2 

▸　空気中の点 P から水中の点 Q に到達するまでの時間

t　=	√ x 2 ＋ h 2	＋	√ (w － x ) 2 ＋ y 2
	V		v

●　ここで、x について、t が最小となる条件は、

dt ∕ dx　=　0

であることが、各種参考書に述べられているので、 x で微分します。

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 ※ さきほど分数乗の微分で、次の式が成り立つことを確認しました。

(√ u )´　=	1
	2 √ u

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►　まず、

f (u)　=	√ u
	V

g (x)　=　u　=　x 2 ＋ h 2

として、

f ´(u) g´(x)　=	1	∙	1	∙ 2 x
	V		2 √ x 2 ＋ h 2

	=	x
		V √ x 2 ＋ h 2

►　次に、

f (u)　=	√ u
	v

g (x)　=　u　=　(w － x ) 2 ＋ y 2
　　　 =　w 2 － 2 w x ＋ x 2 ＋ y 2

として、

◍　 g´(x)　=　u´　=　2 x － 2 w　=　2 (x － w)
　　　　　　=　－ 2 (w － x)

であるから、

f ´(u) g´(x)　=	1	∙	－ 2 (w － x)
	v		2 √ (w － x ) 2 ＋ y 2

	=	－ (w － x)
		v √ (w － x ) 2 ＋ y 2

►　以上より、

t ´　=	x	－	w － x	=　0
	V √ x 2 ＋ h 2		v √ (w － x ) 2 ＋ y 2

∴	x	=	w － x
	V √ x 2 ＋ h 2		v √ (w － x ) 2 ＋ y 2

　⌨　ここで真空中の光速を c とし、V = c ∕ n₁ ,　v = c ∕ n₂ とおくと、

1	=	n1	,	1	=	n2
V		c		v		c

sinθ1　=	x
	√ x 2 ＋ h 2

sinθ2　=	(w － x)
	√ (w － x ) 2 ＋ y 2

であるから、

n1	sinθ1　=	n2	sinθ2
c		c

∴　 n₁ sinθ₁　=　n₂ sinθ₂

が成り立って、光が最短時間で到達する経路は〈スネルの法則〉に等しいことが確認できるわけです。

 ⛞　屈折率と光の到達時間の計算　⛞

（計算値の理解が簡単になるようにした非現実的な設定ですが）

　媒質 1 と媒質 2 の境界の光の通過点： R (150 km) + km

　◎　光が通過する距離と時間の計算　◎

〔※ 単位の ms は、ミリ秒で 1 ∕ 1000 秒〕 

媒質 1	250 km	ms
媒質 2	250 km	ms
（媒質 1 と媒質 2 の合計）	500 km	ms

◎　下のグラフに、時間の微分 t´ を傾きとして示しました。

〔※ 理解のために便宜的に接線を描線したものの、強調された傾きの角度は正確なものではありません。〕

 1 ∙ sinθ₀　=　

n₁ ∙ sinθ₁　=　

n₂ ∙ sinθ₂　=　

✥　水中から真空に光が入射するときには、入射角が約 48.6 度で、屈折角はほぼ水平となります。

　(参考) 真空への屈折角： θ₀　=　 °

　媒質 1 の入射角： θ₁　=　 °
　媒質 2 の屈折角： θ₂　=　 °

R +

n₁ ∙ sinθ₁　=　0.9705201

n₂ ∙ sinθ₂　=　0.9705201

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　今回も同様に JavaScript によるプログラムを、このページ内に同梱しています。
―― また微分計算の方法についての参考書・その他の資料なども参照しつつ、JavaScript の見本をテキスト化して掲載したページを、以下のサイトで公開しています。

光の屈折・フェルマーの原理
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/integral/Fermat.html