ヒポクラテスの月

✥ ヒポクラテスの月というのは、半円内部に描かれた〝直角三角形〟と〝半円（三日月）〟の面積に関する問題です。

　JavaScript を使って Canvas に図形を描く演習問題として、ヒポクラテスの月は、格好のテーマのひとつでしょう。これは、直角三角形の 3 辺のそれぞれを直径にした、3 個の半円を描けばよいのです。




 ◎ 上の図は、描きやすさを第一と考えて、複雑な計算のあまり必要のなさそうな、30° と 60° の角をもつ直角三角形を使って、それぞれの辺に円を描いてみました。

 ⟲ それを反時計回りに 150° 回転させてから、半円にしたものに、
着色したのが、下の図 ☟ となります。

◉ ヒポクラテスの定理：

上の図で、黄色の三日月形を足した面積と、直角三角形の面積は等しい。
※ 図の、⊿ABC は、∠C を直角とする直角三角形で、AB を直径とする円に内接している。

◎ ヒポクラテスの三日月の詳しい説明：

 ▸　∠C が直角である ⊿ABC の外側に、辺 BC を直径とする半円と、辺 CA を直径とする半円を描く。
 ▸　これらの半円から、⊿ABC の外接円に含まれる部分を除いて得られる月形の図形を、それぞれ moon1, moon2 とし、moon1, moon2 の面積の和と、⊿ABC の面積を比較する。


◈ それぞれの半円の面積の関係：

　各辺の記号を次の通りとする。BC = a, CA = b, AB = c
　a を直径とする半円の面積を α、
　b を直径とする半円の面積を β、
　c を直径とする半円の面積を γ とすると、
円の面積 ＝ πr² であるから、これを仮に 直径 ＝ a で表せば、
円の面積 ＝ π × a² ÷ 2² となり、したがってそれぞれの半円の面積は、

　α = πa² / 8
　β = πb² / 8
　γ = πc² / 8

となって、ピタゴラスの定理より、

　∴　α ＋ β = π (a² ＋ b²) / 8 = πc² / 8 = γ

◈ ヒポクラテスの定理の証明：

　上と同様に、それぞれの半円の面積を α, β, γ とし、

　　moon1 の面積 = s1
　　moon2 の面積 = s2
　　⊿ABC の面積 = s3

　とすると、AB は ⊿ABC の外接円の直径だから、

　　　s1 ＋ s2 = (α ＋ β) － (γ － s3)

　さらに、上記（それぞれの半円の面積の関係）より、

　　　α ＋ β = γ

　∴　s1 ＋ s2 = s3

　◉ ヒポクラテスの月：

月形 s1, s2 は、歴史上最初に作図された「直線に囲まれた図形」に面積が等しい「曲線に囲まれた図形」である、といわれている。
〔参考文献：大田春外『高校と大学をむすぶ幾何学』2010年09月15日　日本評論社／発行 (p. 7, p.180) 〕


Google サイト で、本日、「歳差運動」と「暦」についてのページを公開しました。

古代の《暦》 ―― こよみ ――
https://sites.google.com/view/hitsuge/arcus/koyomi

――　その内容に、〈ヒポクラテスの定理〉についての説明を合わせたページを、以下のサイトで公開しています。

古代の《暦》 ―― こよみ ――
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/koyomi.html