歳差運動を試しに計算してみる
⌀ 歳差運動の計算に挑戦してみました。
◯ 北條芳隆氏の『古墳の方位と太陽』でも紹介されていた『孔子の見た星空』の内容が〈北辰〉とか、歳差運動のことにとても詳しく、かなり参考になりましたので、今後の記憶のためにも、ここで冒頭の解説などを引用しておきたいと思います。
『孔子の見た星空』
古典詩文の星を読む
序章 孔子の見た星空 ―― 歳差と古典の星空
(pp. 1-2)『論語』の為政篇の巻頭に、次のようにある。
子曰[いわ]く、「政[まつりごと]を為[な]すに徳を以[もっ]てすれば、譬[たと]えば北辰[ほくしん]の其[そ]の所に居りて、衆星[しゅうせい]の之[これ]に共[むか]うが如[ごと]し」
孔子の言葉「徳を政治の指導原理とするならば、それはあたかも、〈北辰〉がその居場所に坐っていてあらゆる星がそれを中心に回転しているさまさながらに、政治も自然にうまく進んでゆく」
この「北辰」とはどういうものか。いまのおおかたの『論語』の注釈では、「北極星」と訳されるが、果たしてそれでよいのだろうか。今からおよそ二五〇〇年前の孔子の時代の北天をコンピュータで再現してみると図１のようになる。今の北天図２と比較すると、その変化に驚く。北極点に星はないばかりか、その周辺を見てもおよそ顕著な星はない。今の北極星、こぐま座の α [アルファ]は、遙か彼方である。孔子の見た北天には、「北極星」と呼ぶような星はなかったのである。
この変化は、地球の回転軸が星空の間を移動していくという天文現象により生じたもので、我々が日常経験している天球の日周運動、年周運動とは異なり、人間の一生の間では気がつかないほどのわずかな地軸の動きが、積もり積もって現れた結果であって、歳差運動といわれている。
地球を、北極と南極を軸にした独楽にたとえ、その回転している独楽の芯棒が黄道面に対して首を振る状態を、歳差運動のたとえとすると、芯棒の先は二万六千年で天球上に半径二三・五度の円を描く（図３）。北極星とおおぐま座 α 星との距離が角度にして二九度であるから、おおよその見当はつくであろう。このようにスケールの大きいゆっくりとした運動に気がついたのは、人類の天文観測史上からいえば、比較的後代であって、西洋では、紀元前一五〇年頃ギリシア人のヒッパルカスによって、中国では、晋の虞喜[ぐき]（三〇〇～三五〇年頃活躍）によって発見された。
この運動の起きる原因や詳しい議論は、天文学や力学の本に譲るが、この歳差が星空に具体的にどのように現れるのか、長い歴史をもつ中国の詩文を読むときには、是非とも念頭に置かなければならないことである。特に、北天では、天球上の回転の中心点（北極）との関係において、歳差が重要視されることになる。図１と図２を比較すると、今の〈北極星〉こぐま座の α は、北極点を一五度近くも離れているが、逆に、こぐま座の β [ベータ]は昔の方が接近していて七度に近い（現在では約一六度）。また、北斗七星の第一星、おおぐま座 α はかなり接近していて一八度弱（現代では二七度余）となっている。
一 北天の星
(p. 14)～～。時代を遡れば、紀元前二八〇〇年ころに〇・一度と、今の北極星より理想的な近さの星、りゅう座の α トゥバン、すなわち三・七等星の〈右枢〉があるが、これは、三皇五帝の時代であって（図12）、孔子の時代では図１のように北極から大分離れている。
(pp. 15-16)
ところで、最近、香西洋樹氏は、シェイクスピアの「ジュリアス・シーザー」で、シーザーが「俺は北極星のように不動だ」という場面を引き、シェイクスピアが歳差を知らなかったため、シーザーが言うはずもない台詞を書いたと述べておられる(9)。この劇は、一五九九年（明の万暦二十七年に当たる）に書かれたという。英語に北極星 (pole star) が現れて四〇年ばかり後ということになるが、このとき北極星は、まだ真北極から三度弱離れてはいたが、次第にその座に相応しい名を認められつつあったいわば過渡期であったろう。もし、シェイクスピアが『論語』のこの部分を何らかから知ってこの台詞を書いたとしたら甚だ面白いし、その可能性も全くないとは言えないだろう。
現在の北極星の北極との距離は紀元二〇〇〇年で〇・七四度強、二一〇二年にもっとも北極点に近づき（〇・四六度）その後は次第に離れていく。
(p. 19)
現在の星座では、北斗の柄のすぐ北には目立った星がない。せいぜいりゅう座の α (13)、κ [カッパ](14)が推定される(15)。しかし、この両星とも四等星で、目立つ星ではない。そこで、さらに北に視線を移せば、こぐま座の α ・β 星（いずれも二等星）がある。β は、『晋書』では帝王と呼び、また太乙（太一）の座といういわゆる〈帝星〉、α は〈勾陳〉、つまり現在の北極星である。
［注］
9 『科学朝日』（一九九六年三月号）、のちまとめられて『シェークスピア星物語』（講談社 一九九六年）
13 りゅう座 α は〈右枢〉と呼ばれ、淳祐天文図では、この星のやや西側の小さな星を〈天一〉とするが、『史記』天官書とは異なる。
14 りゅう座 κ について、『史記』天官書の〈天一〉とは、「北斗の口の先にある三星は、北に随て鋭[とが]って（三角形）おり、見えるが若く見えざるが若き（星で）陰徳といい、〈天一〉と云う」というので、りゅう座の κ と λ を含む三星で、κ が〈天一〉であろう。
15 この項は、近藤光男「唐宋詩と星宿」（『北海道大学外国語外国文学研究』Ⅶ号）を参照した。
〔福島久雄／著『孔子の見た星空』より〕
北極点に星はなく、北極点に最も近い明るい星はこぐま座 β 。
こぐま座 α が北極点のごく近くに位置している。
歳差によって、北極点は 26,000 年で天球上に半径 23.5°の円を描く。
北極に 0.1° まで近づいた。
The End of Takechan
歳差運動のデモンストレーション図形
◉ 以上『孔子の見た星空』のこれらの文と図による解き明かしなどから、天の北極の景観は、たとえばコンパスが 2 本の針の半径を 23.5° に固定された状態で円を一周描く、軌跡のようなイメージで、25,800 年をかけて、変化していくということが理解できます。その軌跡が〈北辰〉の軌道にあたるわけです。
⌀ この 23.5° の傾斜角というのは、有名な地球の自転軸の傾き、つまり地球が太陽の周囲を巡る公転軌道に対しての、地軸の傾きです。
⌾ さらにあらためて図３を見ると、紀元前 2,800 年頃にはまさしく天の北極だった竜座の α トゥバンが、現在の天の北極 ――〈北辰〉の周囲を右に旋回して、離れていっている様子がうかがえます。
⟳ 地球から見て、景色が右に巡っていくということは、自身は左向きに回っているということになりますね。
⟲ そしてまたこれが重要なポイントにもなりますけれど、地球から見て、自身が反時計回りの左回転をしているということは、天球の外から見た場合には、歳差運動は、右回転であるということを意味します。
⦽ 誰から見て ―― いいかえると誰が見た話なのか ―― という、前提となる視点の問題は重要なのです。
〔 ※ 窓の外の誰かに向かって、腕を反時計回りにぐるぐる回して合図したら、窓の外から見ているひとには、腕を時計回りに回しているように見えるはずですね。〕
◈ 以上の条件で、簡単な作図を試みるわけなのですけれども、23.5° の傾斜角の逆円錐みたいな形というのは少々難しいので、頂角が 23.5° × 2 の角の二等辺三角形（見た目は尖った角が 23.5° の逆立ちした直角三角形がふたつ、背中合わせになっているこの下の真ん中の図）を考えてみましょう。天球代わりの円盤をくっつけておきます。この円盤の周囲を天の北極が移動していくことになるわけです。
✎ 絵（図柄）の細かい部分の仕上げは、各自で考えていただけるように、あとで JavaScript のコードを公開することにします（今回じゃありません）。JavaScript は、―― いまどきなパソコンさえあれば動作するという ―― ブラウザ（インターネット閲覧ソフト＝インターネットを見るための道具）を（ゲーム感覚で？）操作するための、無料のプログラミング言語です（いわゆるフリーソフトというしろもので、ブラウザに標準装備されています）。
JavaScript の使い勝手のよさは、プログラムさえ用意できれば、あとはインターネットにつながっていなくても動作するということにあります。
ですから一度読み込んだページは読み込み完了後すぐさまインターネット接続を切り離しても、そのページを閉じたり別のページに移動しなければ、新しい外部データを必要としない限り、動作に支障がないわけです。
次に示す図は、手動制御と自動制御が切り替えられて、おまけに自動制御の際の変速機まで実装した
――〝歳差運動のデモンストレーション図形〟で、しばらく眺めていたら、デモの実感が湧くかも知れません。
※「スピード・角度の指定」は クリックして 数値を選んだあと 数字キーでの入力・ Home, End ・上下キー ↑↓ でも操作可能
〔現在の基準を西暦 2100 年とする〕
◈ 上の図で、歳差運動のイメージがうまくつかめたならさいわいで、感じがまだよくわからなくても、―― さてところで。とばかりにお構いなく、次の話題になりますが、―― それでは、現在の北極星が 500 年前・1000 年前には、当時の天の北極と見た目でどのくらい離れていたのか、ということを、これから計算してみましょう。
⛞ 上の図形の右下あたりに付属した〈角度の指定〉の選択ボックス [ 0° ] を クリックして
✍ 346 と数字を入力すると 1003 年前と表示されます。
―― この 1003 年という数字の算出基準としては、先の引用文『孔子の見た星空』の 16 ページに、
現在の北極星の北極との距離は紀元二〇〇〇年で〇・七四度強、二一〇二年にもっとも北極点に近づき（〇・四六度）その後は次第に離れていく。
と書かれていましたので、それをもとにして計算をしています。
―― この図では《 2100 年》を基準の 0 年と前提したうえで ――
⌨ 歳差運動 1 周分の年数の 25,800 年を 360 度で割ることで 1 度あたりの年数を出してから、それを単純に掛け算しただけですが、それだけでもこのおおよそ 1,000 年間に、360 － 346 ＝ 14 度分の円周の上を、天の北極が移動したことがわかります（当然ながらも、割り算と掛け算の計算式を書いただけで、実際の計算はパソコン頼み）。
なにやらめでたしめでたしな感じなのですけれど、ではそれがそのまま夜空の景観として、見た目の角度の違いになるかというと、あにはからんや、それが違うのです。なんとなれば『孔子の見た星空』の 2 ページには、
図１と図２を比較すると、今の〈北極星〉こぐま座の α は、北極点を一五度近くも離れているが、逆に、こぐま座の β [ベータ]は昔の方が接近していて七度に近い（現在では約一六度）。また、北斗七星の第一星、おおぐま座 α はかなり接近していて一八度弱（現代では二七度余）となっている。
と記録されています。図１は 2,500 年前で、図２は現代の図となっています。箇条書きにすると、
1.〔2500年前〕今の〈北極星〉こぐま座の α は、北極点を 15° 近くも離れている
2.こぐま座の β は昔の方が接近していて 7° に近い（現在では約 16° ）
3.〔2500年前〕北斗七星の第一星、おおぐま座 α はかなり接近していて 18° 弱（現代では 27° 余）となっている
というわけで、どうしたって、単純な円周上の角度と、では計算が合わないのです。
⛞ 今の〈北極星〉こぐま座の α が離れている角度の 15 度分、360 － 15 ＝ 345 度の年数は、
✍ 角度の選択選択ボックス [ 0° ] を クリックして 345 と入力したら、1075 年前と表示されるわけですから。
―― 2500 年前という説明とは、大きく異なってしまいます ――
この計算結果の違いの謎を解明するために、『孔子の見た星空』の 4 ページに掲載された図３の一部を加工して、自分で作図した図形の上に乗せ、それぞれの長さと角度の比率を計測してみたところ、次のような数字を得ることができました。
―― 今回作成したサイズの図形での数字（座標の単位は px ピクセル）――
◎ 現在（ 2,000 年）の天の北極の中心座標 (x, y) ＝ (430, 270)
23.5° の円の半径 r ＝ 170 ( 170 ÷ 23.5 ＝ 7.234 )
10° の円の半径 r_10 ＝ 72 ( 72 ÷ 10 ＝ 7.2 )
20° の円の半径 r_20 ＝ 142 ( 142 ÷ 20 ＝ 7.1 )
30° の円の半径 r_30 ＝ 214 ( 214 ÷ 30 ＝ 7.133 )
40° の円の半径 r_40 ＝ 286 ( 286 ÷ 40 ＝ 7.15 )
50° の円の半径 r_50 ＝ 358 ( 358 ÷ 50 ＝ 7.16 )
これにより、10° 間隔の緯線は、1° あたり、おおよそ 7.1~7.2 の比率で描かれていると、理解できます。
◯ そこでおおぐま座の一番近い星（おおぐま座 α ）を通るように円を描くと、
27° 余の円の半径 r_27 ＝ 200 ( 200 ÷ 27.4 ＝ 7.299 )
となり、したがって、我々のお気に入りの星々が現在の天の北極とどれくらい離れているかの角度とは、
相互の座標を中心点として、相手の座標が円周に重なるように円を描くとき〔どちらから円を描いても座標間の距離は同じになりますので〕、その円の半径がどれくらいになるか、という測定であろうということになります。
⛞ それでは、ここはとりあえず、基準の数値を 23.5°＝ 170 と割り当てて、計算してみましょう。
⌨ それぞれの時代に、天の北極がどのあたりにあったかの位置計算 ―― つまりは歳差運動の基準軸を中心とした、北辰が天蓋（天宮）を移動する角度 ―― は、すでに計算済みなのですけれど、あいにく逆向きの回転になってしまっているのでここは調整し直し、また 1 度あたりの年数ではなく、100 年あたりの角度を出すことにして、ざっくり右回りの角度を計算しておきましょう。
⎋ この作図は（操作してみて）、小熊座 β が天の北極にもっとも近づいていたのは、紀元前 800~1200 年頃のおよそ 400 年間だったことを示しています。
⌀ また、小熊座 β と、紀元前 800 年 (16.42° ) の青の円周がちょうど重なって、上の箇条書きリスト第 2 の「こぐま座の β は昔の方が接近していて 7° に近い（現在では約 16° ）」の条件とも一致するようなので、現在の天の北極からの角度を別途計算すると約 15.65° となり、あまり大きな誤差は、ここでは生じていません。
✥ 以上の考え方で合っているかどうかは、よくわかりませんが、おおまかなところ・だいたいのところはよろしいかと思われますので、目安程度のデータとして、計算結果をかいつまんで表にしておくこととします。
| ＼ | |||
| 西暦紀元 | 2,001 | 0 ° | 0.74 ° |
| 1,501 | 6.98 ° | 3.49 ° | |
| 1,001 | 13.95 ° | 6.35 ° | |
| 501 | 20.93 ° | 9.2 ° | |
| 401 | 22.33 ° | 9.76 ° | |
| 301 | 23.72 ° | 10.33 ° | |
| 201 | 25.12 ° | 10.89 ° | |
| 101 | 26.51 ° | 11.45 ° | |
| 1 | 27.91 ° | 12.01 ° | |
| 紀元前 | 300 | 32.09 ° | 13.68 ° |
| 500 | 34.88 ° | 14.78 ° | |
| 1,000 | 41.86 ° | 17.5 ° | |
| 1,500 | 48.84 ° | 20.15 ° | |
| 2,000 | 55.81 ° | 22.72 ° | |
| 2,500 | 62.79 ° | 25.22 ° | |
| 3,000 | 69.77 ° | 27.62 ° |
⛞ 冒頭でも触れた、北條芳隆氏の『古墳の方位と太陽』(p. 77) には、紀元前 300 年の小熊座 α 星は「天の北極から約 12.7 度離れた位置」だったことが記されています。
〔 ※ このデータの比較によって、計算結果には、ある程度の明確な誤差があることが確認できます。〕
【 ⌨ 原因としてまず考えられるのは地軸の傾きの数値設定なので、《 23.5° ⇒ 23.4° 》に修正してみましたが、計算の結果は《 13.68° ⇒ 13.62° 》と、あまり変わらず、また紀元前 3,000 年頃の軌道上の位置にも 100 年程度の誤差が認められますので、この計算方法には相応の修正が必要になると考えられます。】
Google サイト で、本日、同じタイトルのページを公開しました。
日告げの宮 ：《北辰》を廻る星座 ―― 歳差運動の計算 ――
https://sites.google.com/view/hitsuge/arcus/Dipper
―― もう少し詳しい内容のページを、以下のサイトで公開しています。
日告げの宮 ： 北辰の星 ―― 歳差運動の計算 ――
http://theendoftakechan.web.fc2.com/eII/hitsuge/precession.html
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